《第02讲 玩转立体几何中的角度、体积、距离问题（五大题型）（学生版）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第02讲 玩转立体几何中的角度、体积、距离问题（五大题型）（学生版）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义（20页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第02讲 玩转立体几何中的角度、体积、距离问题【题型归纳目录】题型一：异面直线所成的角题型二：线面角题型三：二面角题型四：距离问题题型五：体积问题【知识点梳理】知识点1、求点线、点面、线面距离的方法 (1)若P是平面外一点，a是平面内的一条直线，过P作平面的垂线PO，O为垂足，过O作OAa，连接PA，则以PAa则线段PA的长即为P点到直线a的距离(如图所示) (2)一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫直线与平面的距离 (3)求点面距离的常用方法：直接过点作面的垂线，求垂线段的长，通常要借助于某个直角三角形来求解 转移法：借助线面平行将点转移到直线上某一特殊点到平面的距
2、离来求解 体积法：利用三棱锥的特征转换位置来求解知识点2、异面直线所成角的常用方法求异面直线所成角的一般步骤： (1)找(或作出)异面直线所成的角用平移法，若题设中有中点，常考虑中位线 (2)求转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角(3)结论设(2)所求角大小为若，则即为所求；若，则即为所求知识点3、直线与平面所成角的常用方法求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤(1)确定斜线与平面的交点(斜足)；(2)通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线，连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影，则斜线和射影所成的锐角即为所求的角；(3)求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形知识点4、作二面角的
3、三种常用方法(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线如图，则AOB为二面角-l-的平面角 (2)垂直法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角如图，AOB为二面角-l-的平面角(3)垂线法：过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则为二面角的平面角或其补角如图，为二面角的平面角知识点5、求体积的常用方法选择合适的底面，再利用体积公式求解【典例例题】题型一：异面直线所成的角例1如图，四面体中，E，F分别是的中点，若，则与所成的角的
4、大小是()ABCD例2如图，在长方体中，且为的中点，则直线与所成角的大小为()ABCD例3在正方体中，分别是的中点，则异面直线和所成角的弧度数为()ABCD题型二：线面角例4如图，四棱锥中，平面ABCD，底面ABCD是矩形，且，求直线AC与平面APD所成的角的正弦值；例5如图，在正方体中，(1)求证：平面；(2)求直线和平面所成的角例6如图，在四棱锥中，平面，底面是棱长为的菱形，是的中点(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值题型三：二面角例7)如图，在多面体中，平面平面，平面，和均为正三角形，.(1)在线段AC上是否存在点F，使得平面?如果存在，求出AF的值；如果不存在说明理由；(
5、2)求平面与平面所成的锐二面角的正切值.例8如图，在四棱锥中，底面是菱形(1)若点E是PD的中点，证明：平面；(2)若， ，且平面平面，求二面角的正切值例9如图，在直角梯形中，为的中点，将沿着翻折，使与点重合，且.(1)证明：平面.(2)作出二面角的平面角，并求其大小.例10四棱锥中，平面，四边形为菱形，E为AD的中点，F为PC中点(1)求证：平面；(2)求PC与平面PAD所成的角的正切值；(3)求二面角的正弦值题型四：距离问题例11在斜三棱柱中，是边长为2的正三角形，侧棱，顶点在平面的射影为边的中点求点到平面的距离例12在四棱锥中，为等边三角形，(1)证明：平面平面PBC；(2)求点C到平面
6、PAB的距离例13在直角梯形中(如图一)，.将沿折起，使(如图二).(1)求证：平面平面；(2)设为线段的中点，求点到直线的距离.题型五：体积问题例14)校联考阶段练习)如图，在正四棱锥中，分别为的中点(1)证明：平面平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)求该四棱锥被平面所截得的两部分体积之比，其中例15如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，且，分别是，的中点(1)求证：平面；(2)设，求三棱锥的体积例16如图，在正四棱锥中，、分别为中点.(1)求证：平面；(2)三棱锥的体积.例17如图，三棱锥中，分别是，的中点(1)求证：平面；(2)若，求三棱锥的体积【过关测试】一、多选题1如
7、图与分别为圆台上下底面直径，若，则()A圆台的母线与底面所成的角的正切值为B圆台的全面积为C圆台的外接球(上下底面圆周都在球面上)的半径为D从点经过圆台的表面到点的最短距离为2如图，四棱锥中，底面为四边形，是边长为2的正三角形，平面平面，则()A平面 BC D若二面角的平面角的余弦值为，则3已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，点C在底面圆周上，且二面角为45，则()A该圆锥的体积为B该圆锥的侧面积为CD的面积为4如图，已知正方体的棱长为，则下列选项中正确的有()A异面直线与的夹角的正弦为B二面角的平面角的正切值为C正方体的外接球体积为D三棱锥与三棱锥体积相等二、单选题5在二面角中
8、，且，若，则二面角的余弦值为()ABCD6如图，矩形ABCD中，正方形ADEF的边长为1，且平面平面ADEF，则异面直线BD与FC所成角的余弦值为()ABCD7在正方体中，点是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值为()ABCD8如图所示，四棱锥的底面为正方形，平面ABCD，则下列结论中不正确的是()AB平面SCDC直线SA与平面SBD所成的角等于D直线SA与平面SBD所成的角等于直线SC与平面SBD所成的角. 三、填空题9如图，在棱长为1的正方体中，点A到平面距离是_10在四棱锥中，所有侧棱长都为，底面是边长为的正方形，O是P在平面ABCD内的射影，M是PC的中点，则异面直线OP与BM所成角为
9、_11已知直三棱柱中，则异面直线与所成角的余弦值为 _.12在正方体中，分别是，的中点，则异面直线和所成角的弧度数为_13正方体中，直线与平面所成角的正弦值为_.14如图，在直三棱柱中，直线与平面所成的角_15如图，正方体的棱长为4，点P，Q，R分别在棱，上，且，则三棱锥的体积为_四、解答题16如图，在梯形中，将沿边翻折至，使得，如图，过点作一平面与垂直，分别交于点(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离17如图，在直三棱柱中，点为中点，连接、交于点，点为中点(1)求证：/平面；(2)求证：平面平面；(3)求点到面的距离18如图，四面体的顶点都在以为直径的球面上，底面是边长为的等边三角形，球心
10、到底面的距离为(1)求球的表面积；(2)求异面直线和成角的余弦值19如图，在三棱台中，AB=BC=CA=2DF=2，FC=1，ACF=BCF=90，G为线段AC中点，H为线段BC上的点，平面FGH(1)求证：点H为线段BC的中点；(2)求三棱台的表面积；(3)求二面角的正弦值20如图，边长为4的正方形中，点分别为的中点将分别沿折起，使三点重合于点P(1)求证：；(2)求三棱锥的体积；(3)求二面角的余弦值21如图，在四棱锥中，四边形为正方形，平面，求平面与平面所成二面角的大小22已知四棱锥的底面为梯形，且，又，平面平面，平面平面(1)判断直线和的位置关系，并说明理由；(2)若点到平面的距离为，
11、请从下列中选出一个作为已知条件，求二面角余弦值大小；为二面角的平面角23如图，已知四棱锥的底面是正方形，底面，是侧棱的中点.(1)证明平面.(2)求异面直线与所成的角；24如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，为的中点.(1)证明：平面；(2)设直线与底面所成角的正切值为，求直线与平面所成角的正弦值.25如图，已知点P是正方形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点(1)求证：平面PAD；(2)若PB中点为Q，求证：平面平面PAD(3)若PA平面ABCD，ABPA2，求直线PB与面PAD所成的角26如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，为线段上一点，平面.(1)证明：为的中点；(2)若直线与平面所成的角为，且，求三棱锥的体积.27如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，交于点，为中点(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成的角第 20 页 共 20 页
