《第16讲 直线和圆锥曲线的位置关系（九大题型）（学生版）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第16讲 直线和圆锥曲线的位置关系（九大题型）（学生版）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义（22页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第16讲 直线和圆锥曲线的位置关系【题型归纳目录】题型一：直线与椭圆的位置关系题型二：椭圆的弦题型三：椭圆的综合问题题型四：直线与双曲线的位置关系题型五：双曲线的弦题型六：双曲线的综合问题题型七：直线与抛物线的位置关系题型八：抛物线的弦题型九：抛物线的综合问题【知识点梳理】知识点一：直线与椭圆的位置关系平面内点与椭圆的位置关系椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点M(x，y)，若点M(x，y)在椭圆上，则有；若点M(x，y)在椭圆内，则有；若点M(x，y)在椭圆外，则有.直线与椭圆的位置关系将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为
2、关于x或y的一元二次方程，其判别式为.0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点)；0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点直线与椭圆的相交弦设直线交椭圆于点两点，则=同理可得这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：知识点三、直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为.若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若即，0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点；0直线和双曲线相离直线和双
3、曲线相离，无公共点直线与双曲线的相交弦设直线交双曲线于点两点，则=同理可得这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：双曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.知识点四、直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系将直线的方程与抛物线的方程y2=2px(p0)联立成方程组，
4、消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为.若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；若 0 直线和抛物线相交，有两个交点；0直线和抛物线相切，有一个公共点；0直线和抛物线相离，无公共点直线与抛物线的相交弦设直线交抛物线于点两点，则=同理可得这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：抛物线的焦点弦问题已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点。设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则： 焦点弦长，其中|AF|叫做焦半径，焦点弦长最小值为2p。根据时，即AB垂直于x轴时，弦AB的长最短，最短值为2p。【典例例题】题型一：直线与椭圆的位置关系例1若直线与椭圆有且只有一公共
5、点，那么的值为()ABCD例2若直线被圆所截的弦长不小于2，则l与下列曲线一定有公共点的是()ABCD例3已知直线y=kx-1与焦点在x轴上的椭圆C:总有公共点，则椭圆C的离心率取值范围是()ABCD例4已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为()A相交B相切C相离D不确定例5直线：与椭圆的位置关系是()A相交B相切C相离D相切或相交题型二：椭圆的弦例6过椭圆：的右焦点且倾斜角为的直线被椭圆截得的弦长为_例7已知椭圆的左焦点为，过点且倾斜角为的直线与椭圆相交于两点，则_例8是过椭圆右焦点的弦，则弦长的最小值为_ 例9已知椭圆，斜率为1的直线过点其左焦点，且与椭圆交于、两点，则弦长_例10椭
6、圆的焦点为、，过O作直线交椭圆于A、B两点，若的面积为20，则直线AB的方程为_例11已知椭圆中，离心率.(1)求椭圆的方程；(2)设直线与椭圆交于、两点，求.例12椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆C经过点且长轴长为(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点且斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，求弦长|AB|题型三：椭圆的综合问题例13已知圆S：，点P是圆S上的动点，T是抛物线的焦点，Q为PT的中点，过Q作交PS于G，设点G的轨迹为曲线C(1)求曲线C的方程；(2)过的直线l交曲线C于点M，N，若在曲线C上存在点A，使得四边形OMAN为平行四边形(O为坐标原点)，求直线l的方程例14
7、已知椭圆：()上任意一点到两个焦点的距离之和为，且离心率为(1)求椭圆的标准方程；(2)过点作直线交椭圆于，两点，点为线段的中点，求直线的方程例15已知圆：经过椭圆：的两个焦点和两个顶点，点，直线：与椭圆交于两点，且直线的斜率与直线的斜率互为相反数(1)求椭圆的标准方程；(2)求的值例16若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点(1)求椭圆E的方程；(2)不过原点O的直线与椭圆E交于A、B两点，求面积的最大值以及此时直线l的方程例17已知椭圆的右焦点，长半轴长与短半轴长的比值为2(1)求椭圆的标准方程；(2)设为椭圆的上顶点，直线与椭圆相交于不同的两点，若，求直线的方程例18在平面直角坐标
8、系中，椭圆：的左顶点到右焦点的距离是3，离心率为(1)求椭圆的标准方程；(2)斜率为的直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于，两点已知点，求的值题型四：直线与双曲线的位置关系例19已知直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是()ABCD例20直线与双曲线相交，有且只有1个交点，则双曲线的离心率为()ABCD例21曲线与直线的公共点的个数为()ABCD例22过点作直线l与双曲线交于点A，B，若P恰为AB的中点，则直线l的条数为()A0B1C2D不能确定例23直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则的取值范围为( )A或BCD例24若直线与曲线有且只有一个交点，则满足条件的直线有()A条B条C条D条题
9、型五：双曲线的弦例25已知双曲线的左焦点为，过点作倾斜角为的直线交双曲线于两点.(1)求的值；(2)求.例26已知双曲线的焦点为，且该双曲线过点(1)求双曲线的标准方程；(2)过左焦点作斜率为的弦AB，求AB的长；(3)求的周长例27已知双曲线C的焦点在x轴上，焦距为4，且它的一条渐近线方程为(1)求C的标准方程；(2)若直线与双曲线C交于A，B两点，求例28已知双曲线：的左右顶点分别为，点，在双曲线上(1)求直线，的斜率之积；(2)若直线MN的斜率为2，且过点，求的值例29已知双曲线C的焦点在x轴上，焦距为10，且它的一条渐近线方程为(1)求C的标准方程；(2)过C的右顶点，斜率为2的直线l
10、交C于A，B两点，求例30双曲线C的焦点与椭圆的焦点相同，双曲线C的一条准线方程为.(1)求双曲线C的方程；(2)若双曲线C的一弦中点为，求此弦所在的直线方程.题型六：双曲线的综合问题例31已知是双曲线上的两点(1)若是坐标原点，直线经过的右焦点，且，求直线的方程；(2)若线段的中点为，求直线的方程例32已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点到该渐近线的距离为1.(1)求的方程；(2)经过点的直线交于两点，且为线段的中点，求的方程.例33已知双曲线：过点，渐近线方程为，直线是双曲线右支的一条切线，且与的渐近线交于A，B两点(1)求双曲线的方程；(2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最
11、小值例34已知点在双曲线上(1)求正数的值；(2)求双曲线C上的动点P到定点的距离的最小值例35已知双曲线C1过点(4，-6)且与双曲线C2：共渐近线，点在双曲线C1上(不包含顶点).(1)求双曲线C1的标准方程；(2)记双曲线C1与坐标轴交于A，B两点，求直线PA，PB的斜率之积.例36已知双曲线：与双曲线有相同的焦点；且的一条渐近线与直线平行.(1)求双曲线的方程；(2)若直线与双曲线右支相切(切点不为右顶点)，且分别交双曲线的两条渐近线于两点，为坐标原点，试判断的面积是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由.例37已知点在抛物线上，的重心与此抛物线的焦点重合(如图)(1)写出该抛物线
12、的方程和焦点的坐标；(2)求线段中点的坐标例38已知双曲线(，)中，离心率，实轴长为4(1)求双曲线的标准方程；(2)已知直线：与双曲线交于，两点，且在双曲线存在点，使得，求的值.题型七：直线与抛物线的位置关系例39已知直线，抛物线，l与有一个公共点的直线有()A1条B2条C3条D1条、2条或3条例40过抛物线的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线()A有且只有一条 B有且只有两条 C有且只有三条 D有且只有四条例41已知直线与抛物线相切，则()ABC1D例42已知抛物线：，点是经过抛物线焦点的直线与抛物线的交点，且，则这样的直线()A有且仅有一条B有且仅有两条C有无穷多条D不存在题型八：抛物线的弦例43过抛物线焦点且斜率为1的直线与此抛物线相交于两点，则_.例44已知为坐标原点，抛物线的焦点为，直线与交于两点，且的中点到轴的距离为3，则的最大值为_.例45过抛物线：的焦点的直线交抛物线于、两点，且，则弦的长为_.例46过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若线段中点的横坐标为1，则等于_.例47已知抛物线的焦点为，过的弦满足，则的值为_例48已知抛物线的方程为，为抛物线的焦点，倾斜角为
