《第15讲 抛物线（七大题型）（学生版）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第15讲 抛物线（七大题型）（学生版）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第15讲 抛物线【题型归纳目录】题型一：抛物线的定义题型二：求抛物线的标准方程题型三：抛物线的综合问题题型四：轨迹方程题型五：抛物线的几何性质题型六：抛物线中的范围与最值问题题型七：焦半径问题【知识点梳理】知识点一：抛物线的定义定义：平面内与一个定点和一条定直线(不经过点)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线知识点诠释:(1)上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值(2)定义中的隐含条件：焦点F不在准线上，若F在上，抛物线变为过F且垂直与的一条直线.(3)抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定
2、义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化.知识点二：抛物线的标准方程抛物线标准方程的四种形式：根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式，。知识点诠释：只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程；抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线的一次项为，故其焦点在轴上，且开口向负方向(向下)抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍.从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数。用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的
3、类型(一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型)，然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论.在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况。知识点三：抛物线的简单几何性质：抛物线标准方程的几何性质范围：，抛物线y2=2px(p0)在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标(x，y)的横坐标满足不等式x0；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。抛物线是无界曲线。对称性：关于x轴对称抛物线y2=2px(p0)关于x
4、轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线只有一条对称轴。顶点：坐标原点抛物线y2=2px(p0)和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是(0，0)。抛物线标准方程几何性质的对比图形标准方程y2=2px(p0)y2=2px(p0)x2=2py(p0)x2=2py(p0)顶点O(0，0)范围x0， x0，y0，y0，对称轴x轴y轴焦点离心率e=1准线方程焦半径知识点诠释：(1)与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线；(2)标准方程中的参数p的几何意义是指焦点到准线的距离；p0恰恰说明定义中的焦点F不在准线上这一隐含条件；参数p的几何意义在解题时常
5、常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p的值，才易于确定焦点坐标和准线方程.【典例例题】题型一：抛物线的定义例1若P为抛物线y2=2px(p0)上任意一点，F为抛物线的焦点，则以|PF|为直径的圆与y轴的位置关系为()A相交B相离C相切D不确定例2若抛物线上一点到轴的距离为，则点到该抛物线焦点的距离为()ABCD例3已知抛物线的焦点为F，是C上一点，则()A1B2C3D4例4抛物线的方程为，抛物线上一点P的横坐标为，则点P到抛物线的焦点的距离为()A2B3C4D5例5已知为抛物线：的焦点，纵坐标为5的点在C上，则()A2B3C5D6题型二：求抛物线的标准方程例6点到抛物线的准线的距离为6，
6、那么抛物线的标准方程是()AB或C或D例7准线方程为的抛物线的标准方程是()ABCD例8准线方程为的抛物线的标准方程是()ABCD例9经过点的抛物线的标准方程是()A或B或C或D或例10若抛物线上一点到其准线的距离为3，则抛物线的标准方程为()ABCD例11已知抛物线的准线方程为，则该拋物线的标准方程为()ABCD例12已知抛物线的焦点为，则抛物线的标准方程为()ABCD题型三：抛物线的综合问题例13(多选题)已知抛物线的焦点为，是抛物线上两点，则下列结论正确的()A点的坐标为B若直线经过焦点，则C若，则线段的中点到轴的距离为D若直线经过焦点且满足，则直线的倾斜角为例14(多选题)斜率为1的直
7、线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于两点则下列结论正确的有()AB抛物线的准线方程为CD例15(多选题)已知点，点，点在抛物线上，则()A当时，最小值为1B当吋，的最小值为4C当时，的最小值为3D当吋，的最大值为2例16(多选题)已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线过点且与抛物线交于A、B两点，若是线段AB的中点，则()ABC直线的方程为D例17(多选题)已知直线过抛物线的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为M，N，则下列说法正确的是()A抛物线的方程为B线段的中点到y轴的距离为C线段的长度为D题型四：轨迹方程例18若动点到点的距离等于它到直线
8、的距离，则点的轨迹方程是()ABCD例19已知圆的方程为，若抛物线过点A(1，0)，B(1，0)，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程为()ABCD例20在平面直角坐标系xOy中，动点到直线的距离比它到定点的距离小1，则P的轨迹方程为()ABCD例21已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆 外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A BC D例22已知在平面直角坐标系中有一定点，动点到y轴的距离为d，且，则动点P的轨迹方程为()ABCD例23与圆：外切，又与轴相切的圆的圆心的轨迹方程是()AB()和()C()D()和()例24已知抛物线C：y28x的焦点为F，点P是抛物线C上一动点，则线段FP的
9、中点Q的轨迹方程是()ABCD例25已知动圆经过定点，且和直线相切，则点的轨迹方程为()ABCD题型五：抛物线的几何性质例26抛物线上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为10和6，则该点的横坐标是_例27一个正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中一个顶点在原点，则这个三角形的面积为_例28已知抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线交于两点，线段中点的纵坐标为，则_.例29抛物线在第一象限上一点，满足，为该抛物线的焦点，则直线的斜率为_.例30如图是一座抛物线型拱桥，拱桥是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米当水位下降，水面宽为6米时，拱顶到水面的距离为_米例
10、31过点的直线与抛物线交于，两点，点在轴上方，若，则直线的斜率_.例32已知抛物线：经过点，若点到抛物线的焦点的距离为4，则_题型六：抛物线中的范围与最值问题例33已知点在抛物线上，则点到直线的距离的最小值是_例34已知点为拋物线上的动点，点为圆上的动点，则点到轴的距离与点到点的距离之和最小值为_.例35已知M为抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为_例36已知抛物线的焦点为F，定点，点P是抛物线上一个动点，则的最小值为_.例37已知点P到直线与到点的距离相等，点Q在圆上，则的最小值为_.例38已知抛物线：，为上一点，则取最小值时点的坐标为_例39是抛物线的焦点，P是抛物线上任一点
11、，A(3，1)是定点，则的最小值是_例40若点的坐标为，F为抛物线的焦点，点在抛物线上移动，为使最小，点的坐标应为_例41已知点在抛物线上，那么点到点的距离与点到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点的坐标为_例42已知点P为抛物线C：上的动点，直线l：，点为圆M：上的动点，设点P到直线l的距离为d，则的最小值为_题型七：焦半径问题例43已知抛物线的焦点为F，是抛物线C上一点，若，则_例44若抛物线的焦点为，点在此抛物线上且横坐标为，则_.例45已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线交于点M，且，则_.例46过抛物线的焦点F作直线l交抛物线C于两点，若，则_例47过抛物线M：焦点的直线交抛物线M于A，
12、B两点，若线段AB的中点P到M的准线的距离等于9，则_例48若抛物线上一点P到焦点的距离为4，则点P到原点的距离为_例49抛物线的焦点为，过原点的直线交于另一点，若，则_.例50已知抛物线的焦点为，点，在上，则线段的中点到准线的距离为_.例51已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，交于两点，且满足，则_.例52已知抛物线的焦点为F，点M在抛物线上，MN垂直x轴于点N，若，则的面积为_.例53抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴入射光线经抛物线反射后反射光线必经过抛物线的焦点已知抛物线的焦点为，一平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则_例54已知点为抛物线的焦点，点在抛物线上，为坐标原点，若的面积为2，则 到直线的距离为_.例55已知抛物线的焦点为F，点在点F的右边，若C上的点Q满足，则_例56设O为坐标原点，抛物线的焦点为F，P为抛物线上一点，若，则的面积为_【过关测试】一、单选题1抛物线的焦点关于直线的对称点的坐标是()ABCD2过抛物线的焦点作直线，交抛物线于，两点，若，则()A1B2C3D43已知是抛物线：的焦点，点在上且，则的坐标为()ABCD4
