《第06讲 空间向量及其运算的坐标表示（七大题型）（学生版）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第06讲 空间向量及其运算的坐标表示（七大题型）（学生版）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第06讲 空间向量及其运算的坐标表示【题型归纳目录】题型一：空间向量的坐标表示题型二：空间向量的直角坐标运算题型三：空间向量的共线与共面题型四：空间向量模长坐标表示题型五：空间向量平行坐标表示题型六：空间向量垂直坐标表示题型七：空间向量夹角坐标表示【知识点梳理】知识点一、空间直角坐标系1、空间直角坐标系从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面.2、右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中
2、指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.3、空间点的坐标空间一点A的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.知识点二、空间直角坐标系中点的坐标1、空间直角坐标系中点的坐标的求法通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标.特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为.2、空间直角坐标系中对称点的坐标在空间直角坐标系中，点，则有点关于原点的对称点是；点关于横轴(x轴)的对称点是
3、；点关于纵轴(y轴)的对称点是；点关于竖轴(z轴)的对称点是；点关于坐标平面的对称点是；点关于坐标平面的对称点是；点关于坐标平面的对称点是.知识点三、 空间向量的坐标运算(1)空间两点的距离公式若，则即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。，或.知识点诠释：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量的坐标表示，然后再用模长公式推出。(2)空间线段中点坐标空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为.(3)向量加减法、数乘的坐标运算若，则;(4)向量数量积的坐标运算若，则即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。(5)空间向量
4、长度及两向量夹角的坐标计算公式若，则(1).(2).知识点诠释：夹角公式可以根据数量积的定义推出：，其中的范围是.用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与的关系(相等，互余，互补)。(6)空间向量平行和垂直的条件若，则规定：与任意空间向量平行或垂直作用：证明线线平行、线线垂直.【典例例题】题型一：空间向量的坐标表示例1在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标是()ABCD例2已知平行四边形，且，则顶点的坐标为()ABCD例3已知，则向量的坐标是()ABCD例4平行六面体中，则点的坐标为()ABCD例5在空间直角坐标系中，则向量()ABCD例6若，点C在线段AB上，且，则点C的坐标是_
5、.例7已知点，则点的坐标为_例8已知点，若点为线段AB上靠近的三等分点，则点的坐标为_.例9如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中建立空间直角坐标系，若正方体的棱长为1，则的坐标为_，的坐标为_，的坐标为_题型二：空间向量的直角坐标运算例10已知，则()A-5B-7C3D例11若，则()A-11B3C4D15例12已知向量,则()ABCD例13已知，则()ABCD例14已知向量，若，则()ABCD例15已知，则等于()A B C D例16已知向量则的坐标为()A B C D题型三：空间向量的共线与共面例17已知，若与共线，则实数()A-2BCD2例18与向量共线的单位向量可以为()ABC
6、D例19在空间直角坐标系中，已知点，若三点共线，则()ABCD例20已知向量，则与同向共线的单位向量()ABCD例21若,且,为共线向量,则的值为()A2BC6D8例22若三点共线，则()A1B4C6D2例23已知向量，若共面，则实数的值为()AB1CD例24已知，若三向量共面，则实数等于()ABCD例25已知向量共面，则实数的值是()A1BC2D例26若空间四点共面，则的值为()AB2C1D题型四：空间向量模长坐标表示例27设空间向量，若，则_例28，则_例29已知.则_例30已知点是点关于坐标平面yoz内的对称点，则_例31若，则_例32若，则_题型五：空间向量平行坐标表示例33在空间直角
7、坐标系中，若，则实数_.例34已知向量与向量平行()，则的值为_.例35已知空间向量，且与是共线向量，则实数x的值为_例36已知空间向量与共线，则_.题型六：空间向量垂直坐标表示例37已知，单位向量满足，则_例38已知空间向量，若，则_.例39已知向量，若，则的值为_.例40已知向量，且与互相垂直，则的值是_例41已知空间向量，若，则x=_.题型七：空间向量夹角坐标表示例42已知向量，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为_.例43在空间直角坐标系中，已知，则、夹角的余弦值是_例44已知向量，若与夹角为，则k的值为_例45已知、，则向量与的夹角大小为_例46若向量，且与的夹角的余弦值为，则实数的
8、值为_例47已知向量，若向量与所成角为钝角，则实数的范围是_.例48已知向量，若向量与的夹角为锐角，则实数的取值范围是_.【过关测试】一、单选题1下列各组空间向量不能构成空间的一组基底的是()ABCD2若向量，且与夹角的余弦值为，则等于()ABC或D23已知向量，若，则的值为()ABCD4已知向量,若三个向量共面,则实数m等于()A4B6C8D105长方体中，E为与的交点，F为与的交点，又，则长方体的高等于()ABCD6设，则AB的中点M到点C的距离()ABCD7已知向量，向量，且平行四边形OACB对角线的中点坐标为，则()ABCD8已知空间直角坐标系中， ，点在直线上运动，则当取得最小值时，
9、点的坐标为()ABCD二、多选题9空间直角坐标系中，已知，则()AB是等腰直角三角形C与平行的单位向量的坐标为或D在方向上的投影向量的坐标为10已知向量，则下列结论中正确的是( )A若，则 B若，则C不存在实数，使得 D若，则11下列关于空间向量的命题中，正确的有()A若向量是空间的一个基底，则也是空间的一个基底B若，则的夹角是钝角C已知，若与垂直，则D已知A、B、C是空间中不共线的三个点，若点O满足，则点O是唯一的，且一定与A、B、C共面12如图，矩形ADFE、矩形CDFG、正方形ABCD两两垂直，且，若线段DE上存在点P，使得，则边CG长度的可能值为()A2BC4D三、填空题13已知点，向
10、量，则点的坐标为_14已知向量，若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围_.15已知空间向量，若，共面，则_16已知，且，则为_.四、解答题17已知空间三点，设，(1)设，求；(2)求与的夹角；(3)若与互相垂直，求k18已知：，求：(1)，；(2)与所成角的余弦值.19在平行六面体中，底面是矩形，平行六面体高为，顶点在底面的射影是中点，设的重心，建立适当空间直角坐标系并写出下列点的坐标.(1)；(2)；(3)；20如图，在直三棱柱中，分别是，的中点(1)求的距离；(2)求的值21已知，点，(1)求的值(2)在线段AB上，是否存在一点E，使得？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由(O为坐标原点)22已知空间三点，(1)求以为边的平行四边形的面积；(2)若，且，点是的中点，求的值第 12 页 共 12 页
