《第05讲 空间向量基本定理（四大题型）（学生版）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第05讲 空间向量基本定理（四大题型）（学生版）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第05讲 空间向量基本定理【题型归纳目录】题型一：基底的判断题型二：基底的运用题型三：正交分解题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题【知识点梳理】知识点01：空间向量基本定理及样关概念的理解空间向量基本定理：如果空间中的三个向量，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得.其中，空间中不共面的三个向量，组成的集合，常称为空间向量的一组基底.此时，都称为基向量；如果，则称为在基底，下的分解式.知识点2：空间向量的正交分解单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示.正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直
2、的向量，叫做把空间向量进行正交分解.知识点3：用空间向量基本定理解决相关的几何问题用已知向量表示某一向量的三个关键点：(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立【典例例题】题型一：基底的判断例1若、构成空间的一组基底，则下面也能构成空间的一组基底的是()A、B、C、D、例2已知是空间的一组基底，则可以与向量，构成基底的向量是()ABCD例3为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是(
3、)A，B，C，D，例4若是空间的一个基底，则下列各组向量中一定能构成空间的一个基底的是()ABCD例5)已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是()ABCD题型二：基底的运用例6在平行六面体中，AC，BD相交于，为的中点，设，则()A B C D例7在四面体中，Q是BC的中点，且M为PQ的中点，若，则()A B C D例8如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，E是MN的三等分点，且，用向量表示为()ABCD例9在平行六面体中，设，则以为基底表示()ABCD例10如图，在三棱锥中，若，则()ABCD例11如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，则()ABC
4、D题型三：正交分解例12已知平面ABC，则空间的一个单位正交基底可以为()ABCD例13已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为()ABCD例14设是单位正交基底，已知，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是()A B C D例15设是单位正交基底，已知向量在基底下的坐标为，其中，则向量在基底下的坐标是()ABCD例16已知向量，是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，若向量在基底，下的坐标为，则在，下的坐标为()A B C D例17设为空间的一个标准正交基底，则等于()A7BC23D11题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题例18
5、在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且，(1)求(用向量表示)；(2)求证：点E，F，G，H四点共面例19已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足.(1)判断三个向量是否共面；(2)判断点M是否在平面ABC内.例20如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点设，.(1)求证EGAB；(2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值例21如图所示，在平行六面体中，分别在和上，且，(1)证明：、四点共面(2)若，求例22如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且(1)用
6、向量表示向量；(2)求证：共面；(3)当为何值时，例23如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，BAD=BAA1=60，DAA1=120.求：(1)的值.(2)线段AC1 的长例24已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，(1)求；(2)求【过关测试】一、单选题1在下列条件中，使点M与点A，B，C一定共面的是()ABCD2在平行六面体中，M为与的交点，若，则下列向量中与相等的向量是()ABCD3已知直线AB，BC， 不共面，若四边形的对角线互相平分，且，则的值为()A1BCD4已知矩形，为平面外一点，平面，点满足，若，则()ABCD15在四面体中，Q是的中点，
7、且M为PQ的中点，若，则()ABCD6在正方体中，下列各式中运算的结果为向量的是().；.ABCD7如图，在三棱柱中，与相交于点，则线段的长度为()ABCD8已知四面体OABC，G1是ABC的重心，G是OG1上一点，且OG3GG1，若，则为()ABCD二、多选题9如图，在平行六面体中，与交于点，且，.则下列结论正确的有()ABCD10下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是()A BC D11设且是空间的一个基底，则下列向量组中，可以作为空间一个基底的向量组有()A B C D12如图，在四面体中，点在棱上，且满足，点，分别是线段，的中点，则用向量，表示向量中正确的为()ABCD三、填空题13
8、以下四个命题中，说法正确的有_(填入所有正确序号)若任意向量共线，则必存在唯一实数使得成立；若向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底；所有的平行向量都相等；是直角三角形的充要条件是14已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为_15如图，已知空间四边形ABCD中，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则_.(用向量表示)16在平行六面体中，且，则的余弦值是_.四、解答题17如图，在四面体OABC中，设，G为的重心，以为空间基底表示向量，18对于任意空间四边形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点(1)试证：与，共面；(2)，试用基底，表示向量19)如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且.若是的中点，设.(1)将空间向量与用表示出来；(2)求线段BM的长.20如图，在圆柱中，底面直径AB等于母线(1)若AB2，求圆柱的侧面积；(2)设AB与CD是底面互相垂直的两条直径，求异面直线AC与所成角的大小21如图，空间四边形OABC中，G、H分别是、的重心，D为BC的中点，设，试用试用基底表示向量和.22已知在平行六面体中，且.(1)求的长；(2)求向量与夹角的余弦值.第 13 页 共 13 页
