《第16讲 直线和圆锥曲线的位置关系（九大题型）（教师版）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第16讲 直线和圆锥曲线的位置关系（九大题型）（教师版）-2024年高中数学新高二暑期衔接讲义（40页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第16讲 直线和圆锥曲线的位置关系【题型归纳目录】题型一：直线与椭圆的位置关系题型二：椭圆的弦题型三：椭圆的综合问题题型四：直线与双曲线的位置关系题型五：双曲线的弦题型六：双曲线的综合问题题型七：直线与抛物线的位置关系题型八：抛物线的弦题型九：抛物线的综合问题【知识点梳理】知识点一：直线与椭圆的位置关系平面内点与椭圆的位置关系椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆内、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点M(x，y)，若点M(x，y)在椭圆上，则有；若点M(x，y)在椭圆内，则有；若点M(x，y)在椭圆外，则有.直线与椭圆的位置关系将直线的方程与椭圆的方程联立成方程组，消元转化为
2、关于x或y的一元二次方程，其判别式为.0直线和椭圆相交直线和椭圆有两个交点(或两个公共点)；0直线和椭圆相切直线和椭圆有一个切点(或一个公共点)；0直线和椭圆相离直线和椭圆无公共点直线与椭圆的相交弦设直线交椭圆于点两点，则=同理可得这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：知识点三、直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系将直线的方程与双曲线的方程联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为.若即，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若即，0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共点；0直线和双曲线相离直线和双
3、曲线相离，无公共点直线与双曲线的相交弦设直线交双曲线于点两点，则=同理可得这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：双曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍.解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.知识点四、直线与抛物线的位置关系直线与抛物线的位置关系将直线的方程与抛物线的方程y2=2px(p0)联立成方程组，
4、消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为.若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点；若 0 直线和抛物线相交，有两个交点；0直线和抛物线相切，有一个公共点；0直线和抛物线相离，无公共点直线与抛物线的相交弦设直线交抛物线于点两点，则=同理可得这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：抛物线的焦点弦问题已知过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A、B两点。设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则： 焦点弦长，其中|AF|叫做焦半径，焦点弦长最小值为2p。根据时，即AB垂直于x轴时，弦AB的长最短，最短值为2p。【典例例题】题型一：直线与椭圆的位置关系例1若直线与椭圆有且只有一公共
5、点，那么的值为()ABCD【答案】C【解析】因为方程表示的曲线为椭圆，则，将直线的方程与椭圆的方程联立，可得，则，解得.故选：C.例2若直线被圆所截的弦长不小于2，则l与下列曲线一定有公共点的是()ABCD【答案】B【解析】由题意，圆的圆心为，半径为.设直线方程为，直线到圆心的距离为，由弦长公式得，所以.由点到直线的距离公式得，即.对于选项A，直线到该圆圆心的距离为，取，满足条件，而，直线与圆没有公共点，故A排除；对于选项B，当时，对于直线有，联立椭圆方程得，所以必有公共点；当时，联立直线与椭圆方程得，所以必有公共点；故B正确；对于选项C，联立直线与抛物线方程得，若时，则，有解；若时，取，则，
6、方程无解，此时无公共点，故C错误；对于选项D，当时，对于直线有，联立双曲线方程得，取，则直线：，与双曲线不存在公共点，故D排除.故选：B.例3已知直线y=kx-1与焦点在x轴上的椭圆C:总有公共点，则椭圆C的离心率取值范围是()ABCD【答案】D【解析】因为椭圆焦点在x轴上，所以b20，所以0b2；易知直线y=kx-1过定点且与椭圆总有公共点，所以该定点位于椭圆内或椭圆上，即，解之得，所以b1，综上1b2，故故选：D.例4已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为()A相交B相切C相离D不确定【答案】A【解析】对于直线，整理得，令，解得，故直线过定点.，则点在椭圆C的内部，所以直线l与椭圆C
7、相交.故选：A.例5直线：与椭圆的位置关系是()A相交B相切C相离D相切或相交【答案】A【解析】方法1：，即：，直线l恒过定点，又椭圆，定点M在椭圆内，直线l与椭圆相交.方法2：恒成立，直线l与椭圆相交.故选：A.题型二：椭圆的弦例6过椭圆：的右焦点且倾斜角为的直线被椭圆截得的弦长为_【答案】/【解析】由椭圆：，可得右焦点.设此直线与椭圆相交于点，直线方程为：.联立，可得，.故答案为：.例7已知椭圆的左焦点为，过点且倾斜角为的直线与椭圆相交于两点，则_【答案】【解析】已知椭圆，则，所以椭圆的左焦点为,因为直线倾斜角为，所以直线的斜率，则直线的方程为.联立，消去，整理得，解得故答案为：.例8是过
8、椭圆右焦点的弦，则弦长的最小值为_ 【答案】/【解析】由题可知，的坐标为，若直线的斜率为零，易知；若直线的斜率不为零，设其为，联立椭圆方程，可得：，显然，设两点的坐标分别为，则，则，因为，则，即当直线的斜率不为零时，；综上所述，故弦长的最小值为.故答案为：.例9已知椭圆，斜率为1的直线过点其左焦点，且与椭圆交于、两点，则弦长_【答案】【解析】椭圆方程为，所以，所以，所以直线的方程为，由消去并化简得，设，所以，所以.故答案为：例10椭圆的焦点为、，过O作直线交椭圆于A、B两点，若的面积为20，则直线AB的方程为_【答案】或【解析】由直线AB关于原点对称以及椭圆关于原点对称可知，从而过点A作AH垂
9、直于x轴，垂足为H，则，即点A的纵坐标为，代入椭圆方程解得A的横坐标为，即点A的坐标为或或或因此直线AB的方程为或故答案为：或例11已知椭圆中，离心率.(1)求椭圆的方程；(2)设直线与椭圆交于、两点，求.【解析】(1)由题知，即，又，解得，所以椭圆方程为.(2)设，联立直线与椭圆方程得，整理得，则，.所民认.例12椭圆C的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆C经过点且长轴长为(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点且斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，求弦长|AB|【解析】(1)由题意设椭圆C的方程为，因为椭圆经过点且长轴长为，所以，所以椭圆C的标准方程为.(2)由已知设直线l的方程为，设，
10、.将直线代入，得，所以，.题型三：椭圆的综合问题例13已知圆S：，点P是圆S上的动点，T是抛物线的焦点，Q为PT的中点，过Q作交PS于G，设点G的轨迹为曲线C(1)求曲线C的方程；(2)过的直线l交曲线C于点M，N，若在曲线C上存在点A，使得四边形OMAN为平行四边形(O为坐标原点)，求直线l的方程【解析】(1)圆S：，即，由题意得，是的中垂线，所以，所以，所以点G的轨迹是以为焦点的椭圆，设其方程为，焦距为，则，得，所以曲线C的方程为.(2)由题意知，直线l的斜率不为0，设，设与交于点.联立，得，当时，则，所以，因为是中点，所以，因为在曲线C：上，所以，化简得，得或(舍)，所以，所以直线l的方
11、程为，即或.例14已知椭圆：()上任意一点到两个焦点的距离之和为，且离心率为(1)求椭圆的标准方程；(2)过点作直线交椭圆于，两点，点为线段的中点，求直线的方程【解析】(1)由椭圆的定义知，又椭圆的离心率，椭圆的标准方程为.(2)为椭圆内一点，直线与椭圆必交于，两点，设，当时，不合题意，故，为线段的中点，又，均在椭圆上，两式相减，得，即，即，直线的方程为，即例15已知圆：经过椭圆：的两个焦点和两个顶点，点，直线：与椭圆交于两点，且直线的斜率与直线的斜率互为相反数(1)求椭圆的标准方程；(2)求的值【解析】(1)由题意知：椭圆的焦点在轴上，圆：与轴交点为，即为椭圆的焦点，圆：与轴交点为，即为椭圆
12、的上下顶点，椭圆的标准方程为：(2)设，由，得，则，又， 直线的斜率，直线的斜率，解得，故所求的值为1例16若椭圆过抛物线的焦点，且与双曲线有相同的焦点(1)求椭圆E的方程；(2)不过原点O的直线与椭圆E交于A、B两点，求面积的最大值以及此时直线l的方程【解析】(1)抛物线的焦点为，所以，因为双曲线的焦点坐标为，所以则，所以椭圆E的方程为.(2)设，联立可得，因为直线与椭圆E交于A、B两点，所以解得，由韦达定理可得，由弦长公式可得，点到直线的距离为，所以当且仅当即时取得等号，所以面积的最大值为，此时直线的方程为.例17已知椭圆的右焦点，长半轴长与短半轴长的比值为2(1)求椭圆的标准方程；(2)
13、设为椭圆的上顶点，直线与椭圆相交于不同的两点，若，求直线的方程【解析】(1)由题意得，椭圆的标准方程为(2)依题意，知，设，联立消去，可得，即，整理，得，解得或(舍去)直线的方程为例18在平面直角坐标系中，椭圆：的左顶点到右焦点的距离是3，离心率为(1)求椭圆的标准方程；(2)斜率为的直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于，两点已知点，求的值【解析】(1)因为椭圆的左顶点到右焦点的距离是3，所以又椭圆的离心率是，所以，解得，从而所以椭圆的标准方程(2)因为直线的斜率为，且过右焦点，所以直线的方程为联立直线的方程与椭圆方程，消去，得，其中设，则，因为，所以因此的值是题型四：直线与双曲线的位置关系例19已知直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是()ABCD【答案】C【解析】联立，消去得，当时，方程有解，即直线与双曲线有公共点；当时，解得或.故选：C.例20直线与双曲线相交，有且只有1个交点，则双曲线的离心率为()ABCD【答案】A【解析】因为直线与双曲线：相交，且有且仅有1个交点,所以直线与双曲线：的渐近线平行，故，则双曲线的离心率.故选：A例21曲线与直线的公共点的个数为()ABCD【答案】B【解析】当时，曲线的方程为，表示椭圆的上半部分含与轴的交点，此时曲线与的交点为(0,3),(4,0),
