《2024年高中数学新高二暑期培优讲义第07讲 直线的倾斜角与斜率 （教师版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024年高中数学新高二暑期培优讲义第07讲 直线的倾斜角与斜率 （教师版）（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第07讲 直线的倾斜角与斜率【题型归纳目录】题型一：直线的倾斜角与斜率定义题型二：斜率与倾斜角的变化关系题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数题型四：直线与线段相交关系求斜率范围题型五：直线平行题型六：直线垂直题型七：直线平行、垂直在几何问题的应用【知识点梳理】知识点一：直线的倾斜角平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线，如果把轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，则叫做直线的倾斜角规定：当直线和轴平行或重合时，直线倾斜角为，所以，倾斜角的范围是知识点诠释：1、要清楚定义中含有的三个条件直线向上方向；轴正向；小于的角2、从运动变化观点来看，直线的倾斜角是由轴按逆时针方向
2、旋转到与直线重合时所成的角3、倾斜角的范围是当时，直线与x轴平行或与x轴重合4、直线的倾斜角描述了直线的倾斜程度，每一条直线都有唯一的倾斜角和它对应5、已知直线的倾斜角不能确定直线的位置，但是，直线上的一点和这条直线的倾斜角可以唯一确定直线的位置知识点二：直线的斜率1、定义：倾斜角不是的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用表示，即知识点诠释：(1)当直线与x轴平行或重合时，；(2)直线与x轴垂直时，k不存在由此可知，一条直线的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在2、直线的倾斜角与斜率之间的关系由斜率的定义可知，当在范围内时，直线的斜率大于零；当在范围内时，直线的斜率小于零；当时，直线
3、的斜率为零；当时，直线的斜率不存在直线的斜率与直线的倾斜角(除外)为一一对应关系，且在和范围内分别与倾斜角的变化方向一致，即倾斜角越大则斜率越大，反之亦然因此若需在或范围内比较倾斜角的大小只需比较斜率的大小即可，反之亦然知识点三：斜率公式已知点、，且与轴不垂直，过两点、的直线的斜率公式知识点诠释：1、对于上面的斜率公式要注意下面五点：(1)当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角，直线与轴垂直；(2)与、的顺序无关，即，和，在公式中的前后次序可以同时交换，但分子与分母不能交换；(3)斜率可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得；(4)当时，斜率，直线的倾斜角，直线与轴平行或重合；(5
4、)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到2、斜率公式的用途：由公式可解决下列类型的问题：(1)由、点的坐标求的值；(2)已知及中的三个量可求第四个量；(3)已知及、的横坐标(或纵坐标)可求；(4)证明三点共线知识点四：两直线平行的条件设两条不重合的直线的斜率分别为若，则与的倾斜角与相等由，可得，即因此，若，则反之，若，则知识点诠释：1、公式成立的前提条件是两条直线的斜率存在分别为；不重合；2、当两条直线的斜率都不存在且不重合时，的倾斜角都是，则知识点五：两直线垂直的条件设两条直线的斜率分别为若，则知识点诠释：1、公式成立的前提条件是两条直线的斜率都存在；2、当一条垂直直线的斜率不存
5、在，另一条直线的斜率为0时，两条直线也垂直【典例例题】题型一：直线的倾斜角与斜率定义例1对于下列命题：若是直线l的倾斜角，则；若直线倾斜角为，则它斜率；任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率；任一直线都有斜率，但不一定有倾斜角其中正确命题的个数为()A1B2C3D4【答案】B【解析】对于：若是直线的倾斜角，则；满足直线倾斜角的定义，则正确；对于：直线倾斜角为且，它的斜率；倾斜角为时没有斜率，所以错误；对于和：可知直线都有倾斜角，但不一定有斜率；因为倾斜角为时没有斜率，所以正确；错误；其中正确说法的个数为2.故选：B.题型二：斜率与倾斜角的变化关系例2直线的倾斜角的取值范围是()ABCD【答案】C【
6、解析】由题意知,若 a = 0,则倾斜角为,若,则,当时，(当且仅当时，取“”)，当时，(当且仅当时，取“”)，故，综上，故选：C.例3若过点，的直线的倾斜角为锐角，则实数的取值范围为()ABCD【答案】C【解析】因为直线的斜率，又因为直线的倾斜角为锐角，所以，解得.故选：C题型三：已知两点求斜率、已知斜率求参数例4若过两点，的直线的倾斜角为150，则的值为()AB0CD3【答案】B【解析】因为过两点，的直线的倾斜角为150，所以直线斜率为 ，即，解得.故选：B.例5若直线经过两点，且其倾斜角为135，则m的值为()A0BCD【答案】D【解析】经过两点，的直线的斜率为，又直线的倾斜角为135，
7、解得故选：D题型四：直线与线段相交关系求斜率范围例6已知点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是()A B C D【答案】B【解析】直线的斜率分别为,结合图形可知：直线过点且与线段相交时，故选：B例7已知两点，过点的直线与线段有交点，则直线的倾斜角的取值范围为()A B C D【答案】A【解析】由题意：如下图所示：所以，则，若直线的倾斜角，则，所以，故选：.题型五：直线平行例8已知直线l1：xmy2m20，直线l2：mxy1m0，当时，m_【答案】1【解析】因为，且斜率一定存在，所以，即，又因为，为两条不同的直线，所以，所以故答案为：1例9已知直线：，：.当时，_.【答案】【解析】当
8、时，则需满足，解得，故答案为：题型六：直线垂直例10直线过点和点，直线过点和点，则直线与的位置关系是_【答案】垂直【解析】当时，直线过点和点，直线过点和点，此时直线的斜率，直线的斜率不存在，因此；当时，直线过点和点，直线过点和点此时直线的斜率不存在，直线的斜率，因此；当时，直线的斜率，直线的斜率，此时，故答案为：垂直.例11已知两条直线的斜率是方程的两个根，则与的位置关系是_【答案】垂直【解析】解析由方程，知恒成立.故方程有两相异实根，即与的斜率均存在.设两根为，则 ，所以 故答案为：垂直例12已知直线经过点，直线经过点，若，则的值为_.【答案】0或5【解析】因为直线经过点，且，所以的斜率存在
9、，而经过点，则其斜率可能不存在，当的斜率不存在时，即，此时的斜率为0，则，满足题意；当的斜率存在时，即，此时直线的斜率均存在，由得，即，解得；综上，a的值为0或5.故答案为：0或5.题型七：直线平行、垂直在几何问题的应用例13已知，.(1)若，可以构成平行四边形，求点的坐标；(2)在(1)的条件下，判断，构成的平行四边形是否为菱形.【解析】(1)由题意得，设.若四边形是平行四边形，则，即，解得，即.若四边形是平行四边形，则，即，解得，即.若四边形是平行四边形，则，即，解得，即.综上，点的坐标为(-1，6)或(7，2)或(3，-2).(2)若的坐标为(-1，6)，因为，所以，所以，所以平行四边形
10、为菱形.若的坐标为(7，2)，因为，所以，所以平行四边形不是菱形.若的坐标为(3，-2)，因为，直线的斜率不存在，所以平行四边形不是菱形.因此，平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形.【过关测试】一、单选题1若直线与直线垂直，则实数()A0B1CD【答案】D【解析】直线与直线垂直，则，解得故选：2已知坐标平面内三点，为的边上一动点，则直线斜率的变化范围是()A B C D【答案】D【解析】如图所示，因为为的边上一动点，所以直线斜率的变化范围是.故选：D.3已知，若在线段上，则的最小值为()ABCD【答案】D【解析】因为点在线段上，所以，且，即，所以，设，所以当时，.故选：D.二、填空题4已知直
11、线经过点，直线经过点，若，则的值为_.【答案】0或5【解析】因为直线经过点，且，所以的斜率存在，而经过点，则其斜率可能不存在，当的斜率不存在时，即，此时的斜率为0，则，满足题意；当的斜率存在时，即，此时直线的斜率均存在，由得，即，解得；综上，a的值为0或5.故答案为：0或5.5直线l的斜率为k，且，则直线l的倾斜角的取值范围是_【答案】【解析】如图：当直线l的斜率，直线l的倾斜角的取值范围为：.故答案为：.6若实数、满足，则代数式的取值范围为_【答案】【解析】如图，则，.因为，可表示点与线段上任意一点连线的斜率，由图象可知，所以有.故答案为：.三、解答题7已知，.(1)求直线和的斜率；(2)若
12、点在线段(包括端点)上移动时，求直线的斜率的取值范围.【解析】(1)由斜率公式可得直线的斜率，直线的斜率.(2)如图所示，当点在AB上运动时，直线的斜率由负无穷增大到，由增大到正无穷大，所以直线的斜率的变化范围是.8已知点，点在线段上.(1)求直线的斜率；(2)求的最大值.【解析】(1)由题意知，直线的斜率.(2)当点在两点之间时，由点在线段上，易知，即，即，当P与重合时也满足，因此，亦即，且，所以，当且仅当，即时，等号成立.故的最大值为.9已知坐标平面内三点.(1)求直线的斜率和倾斜角；(2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标；(3)若是线段上一动点，求的取值范围.【解析】(1)因为直线的斜率为.所以直线的倾斜角为；(2)如图，当点在第一象限时，.设，则，解得，故点的坐标为；(3)由题意得为直线的斜率.当点与点重合时，直线的斜率最小，；当点与点重合时，直线的斜率最大，.故直线的斜率的取值范围为，即的取值范围为.第 10 页 共 10 页
