《2024年高中数学新高二暑期培优讲义第12讲 椭圆（教师版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024年高中数学新高二暑期培优讲义第12讲 椭圆（教师版）（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第12讲 椭圆【题型归纳目录】题型一：椭圆的定义题型二：求椭圆的标准方程题型三：椭圆的综合问题题型四：轨迹方程题型五：椭圆的简单几何性质题型六：求椭圆的离心率题型七：求椭圆离心率的取值范围题型八：由椭圆离心率求参数的取值范围题型九：椭圆中的范围与最值问题题型十：焦点三角形【知识点梳理】知识点一：椭圆的定义平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.知识点诠释：若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形.知识点二：椭圆的标准方程1、当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；2、当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中
2、；知识点诠释：(1)这里的“标准”指的是中心在坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；(2)在椭圆的两种标准方程中，都有和；(3)椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；(4) 在两种标准方程中，a2b2，可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上.知识点三：求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程主要用到以下几种方法：(1)待定系数法：若能够根据题目中条件确定焦点位置，可先设出标准方程，再由题设确定方程中的参数a，b，即：“先定型，再定量”.由题目中条件不能确定焦点位置，一般需分类讨论；有时也可设其方程的一般式：.(2
3、)定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据椭圆的定义确定方程，即“先定型，再定量”。利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题.知识点四：椭圆的简单几何性质我们根据椭圆来研究椭圆的简单几何性质椭圆的范围椭圆上所有的点都位于直线x=a和y=b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|a，|y|b.椭圆的对称性对于椭圆标准方程，把x换成-x，或把y换成-y，或把x、y同时换成-x、-y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。椭圆的顶点椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。椭圆(ab0
4、)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1(-a，0)，A2(a，0)，B1(0，-b)，B2(0，b)。线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。椭圆的离心率椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作.因为ac0，所以e的取值范围是0e1。e越接近1，则c就越接近a，从而越小，因此椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近0，从而b越接近于a，这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x2+y2=a2。知识点五：椭圆标准方程中的三个量a、b、
5、c的几何意义 椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：ab0，ac0，且a2=b2+c2。可借助下图帮助记忆： a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边。和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理(或勾股定理)、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、，有关角()结合起来，建立、之间的关系. 知识点六：椭圆两个标准方程几何性质的比较标准方程图形性质焦点，焦距范围，对称性关于x轴、y轴和原
6、点对称顶点，轴长轴长=，短轴长= 离心率知识点诠释：椭圆，(ab0)的相同点为形状、大小都相同，参数间的关系都有ab0和，a2=b2+c2；不同点为两种椭圆的位置不同，它们的焦点坐标也不相同；椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x2、y2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。【典例例题】题型一：椭圆的定义例1设定点，动点P满足条件，则点P的轨迹是()A椭圆B线段C不存在D椭圆或线段【答案】A【解析】因为，所以，所以，所以点P的轨迹是以，为焦点的椭圆.故选：A.例2设分别为椭圆的左右焦点，过的直线交椭圆于A、B两点，则的周长为()A12B24CD【答案】D【
7、解析】由题意可得，对于椭圆有长半轴长，又过的直线交椭圆于A、B两点，故的周长，故选：D题型二：求椭圆的标准方程例3已知椭圆的左右焦点分别为，过坐标原点的直线交于两点，且，且，则椭圆的标准方程为()A B C D【答案】C【解析】如图，连接，由椭圆的对称性得四边形为平行四边形，所以，得.又因为，所以四边形为矩形，设，则，所以得或；则，则，椭圆的标准方程为.故选:C.例4求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)焦点坐标分别为，经过点；(2)焦点在轴上的椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和为.【解析】(1)设椭圆的标准方程为，依题可得，将代入到方程中得，故，所以椭圆的标准方程为.(2)设椭圆的标准方程为
8、，依题可得，即，所以，所以椭圆的标准方程为题型三：椭圆的综合问题例5已知椭圆的方程为，若点P在椭圆上，F1，F2为椭圆的两个焦点，且，求的面积【解析】由，可知，所以，从而.在中，由余弦定理得，即，由椭圆定义得，由联立可得，解得.所以.例6已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，且椭圆C经过点(1)求椭圆C的方程；(2)设O为坐标原点，过右焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点求使面积最大时直线l的方程【解析】(1)因为长轴长是短轴长的倍，则， 所以椭圆C的方程为， 把点的坐标代入上式，得，可得，所以，故椭圆C的方程为(2)易知右焦点F的坐标为，若直线l的斜率为0，则O，A，B三点不能构成三角形，所以直线l
9、的斜率不为0，设直线l的方程为， 联立方程组，消去x，得， 判别式，设，则， 令，则，当且仅当时，等号成立，即，解得，所以此时直线l的方程为或例7已知椭圆的焦点在轴上，长轴长为4，离心率.(1)求椭圆的标准方程；(2)直线：与椭圆有两个交点，求实数的取值范围.【解析】(1)由题意可知，解得，故椭圆标准方程为.(2)由，消去，得，因为直线与椭圆有两个交点，所以，即，解得，所以实数的取值范围为.题型四：轨迹方程例8已知动圆过定点，并且在定圆B：的内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程是()ABCD【答案】A【解析】设动圆圆心为，动圆的半径为，则，因为动圆在定圆：的内部与其相内切，所以,所以，即，因为，
10、,所以，由椭圆的定义可知：的轨迹为以为焦点，长轴长为8 的椭圆，所以，所以动圆圆心的轨迹方程为.故选：A例9在中，已知，若，且满足，则顶点的轨迹方程是()ABCD【答案】A【解析】在中，因为，所以，又，则，所以，即，由于，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆的左半部分，由，所以顶点的轨迹方程是.故选：A.例10设为坐标原点，动点在椭圆C：上，过作轴的垂线，垂足为，点满足，则点的轨迹方程是()ABCD【答案】C【解析】设，则，由，则，解得，由点在椭圆C：上，则，即，即点的轨迹方程是.故选：C.例11已知圆，圆，动圆M与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A B C D【答案】D【解析】如图
11、，由题意得：，其中，所以，由椭圆定义可知：动圆圆心M的轨迹为以为焦点的椭圆，设，则，解得：，故动圆圆心M的轨迹方程为.故选：D题型五：椭圆的简单几何性质例12已知椭圆的左、右焦点分别为点、，若椭圆上顶点为点，且为等腰直角三角形，则_.【答案】8【解析】椭圆，故，为等腰直角三角形，故，故，即，.故答案为：例13椭圆的内接正方形的周长为_【答案】.【解析】根据椭圆和正方形的对称性，不妨设椭圆的内接正方形在第一象限的一个顶点为，则，所以周长为，故答案为：题型六：求椭圆的离心率例14椭圆：的左焦点为，右焦点为，以为圆心，为半径的圆与交于点，且，则的离心率为()ABCD【答案】B【解析】因为以为圆心，为
12、半径的圆与交于点，所以，因为，所以，又由定义可得，所以，所以故选：B例15椭圆的半焦距为c，若直线y=2x与椭圆的一个交点的横坐标恰为c，则椭圆的离心率为()AB-1CD【答案】D【解析】由题意，直线y=2x与椭圆的一个交点的横坐标恰为c，则其纵坐标为2c，将其代入=1，得，解之得，又椭圆的离心率，所以.故选：D.例16已知椭圆：()的左右焦点分别为、，为椭圆上一点，若坐标原点到的距离为，则椭圆离心率为()ABCD【答案】D【解析】设，作，由题意可得，即有，由，可得，因为，在直角三角形中，由勾股定理得，可得故选：D题型七：求椭圆离心率的取值范围例17已知F1，F2分别是椭圆+=1(ab0)的左
13、、右焦点，若椭圆上存在点P，使F1PF2=90，则椭圆的离心率e的取值范围为 ()A B C D【答案】B【解析】若椭圆上存在点P，使得PF1PF2，则以原点为圆心，F1F2为直径的圆与椭圆必有交点，如图，可得，即c2b2，所以2c2a2，即e2，又e1，所以e故选：B例18已知是椭圆的左右焦点，椭圆上一点M满足：，则该椭圆离心率取值范围是()ABCD【答案】B【解析】设，由余弦定理得：，又，即，解得，因为，得，故.又，所以.故选：B.例19已知椭圆的左右焦点分别为，若椭圆上存在点，使，则该椭圆离心率的取值范围为()ABCD【答案】C【解析】由椭圆的定义知：，因为，即，又因为，所以，所以有：，
14、故椭圆的离心率的取值范围是故选：C题型八：由椭圆离心率求参数的取值范围例20已知椭圆C的离心率为，则椭圆C的长轴长与短轴长的比值为_【答案】【解析】由题设，解得，所以长轴长与短轴长的比值为.故答案为：例21已知椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为，且离心率为，求短轴长为_.【答案】【解析】由题意，椭圆的右顶点为，可得，又由椭圆的离心率为，即，可得，所以，所以，即椭圆的短轴长为.故答案为：.题型九：椭圆中的范围与最值问题例22已知，是椭圆的两个焦点，点在上，则的最大值为_【答案】4【解析】因为点在上，所以有，由，当且仅当时取等号，故答案为：4例23已知椭圆的离心率为，为椭圆上的一个动点，定点，则的最大值为_【答案】2【解析】依题意，由于，所以
