《2024年高中数学新高二暑期培优讲义第04讲 空间向量基本定理 （教师版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024年高中数学新高二暑期培优讲义第04讲 空间向量基本定理 （教师版）（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第04讲 空间向量基本定理【题型归纳目录】题型一：基底的判断题型二：基底的运用题型三：正交分解题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题【知识点梳理】知识点01：空间向量基本定理及样关概念的理解空间向量基本定理：如果空间中的三个向量，不共面，那么对空间中的任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得.其中，空间中不共面的三个向量，组成的集合，常称为空间向量的一组基底.此时，都称为基向量；如果，则称为在基底，下的分解式.知识点2：空间向量的正交分解单位正交基底：如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示.正交分解：把一个空间向量分解为三个两两垂直
2、的向量，叫做把空间向量进行正交分解.知识点3：用空间向量基本定理解决相关的几何问题用已知向量表示某一向量的三个关键点：(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立【典例例题】题型一：基底的判断例1已知是空间的一组基底，则可以与向量，构成基底的向量是()ABCD【答案】D【解析】，与共面，故A，B错误；，与共面，故C错误；是基底，不存在使成立，与不共面，故可以与构成空间的一组基底，故D正确.故选：
3、D.例2已知是空间的一个基底，则可以与向量，构成空间另一个基底的向量是()ABCD【答案】C【解析】因为，所以向量，均与向量，共面故选：C题型二：基底的运用例3在四面体中，Q是BC的中点，且M为PQ的中点，若，则()A B C D【答案】A【解析】因为，所以，因为Q是的中点，所以，因为M为PQ的中点，所以，故选：A.例4如图，M，N分别是四面体OABC的边OA，BC的中点，E是MN的三等分点，且，用向量表示为()ABCD【答案】D【解析】因为，所以，所以，即，又，所以.故选：D题型三：正交分解例5设为空间的一个标准正交基底，则等于()A7BC23D11【答案】B【解析】因为为空间的一个标准正交
4、基底，所以，所以故选：B.例6已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为()ABCD【答案】A【解析】设，所以，解得，所以向量在基底下的坐标为.故选：A.题型四：用空间向量基本定理解决相关的几何问题例7如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点设，.(1)求证EGAB；(2)求异面直线AG和CE所成角的余弦值【解析】(1)证明：连接DE，因为空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，且E，G分别是AB，CD的中点，所以，故，又因为，平面，所以平面，因为平面，所以.(2)由题意得：均为等边三角形且边长
5、为1，所以，所以，设异面直线AG和CE所成角为，则例8已知平行六面体中，底面是边长为1的正方形，(1)求；(2)求【解析】(1)设，由题意得：，；(2)【过关测试】一、单选题1在四面体中，Q是的中点，且M为PQ的中点，若，则()ABCD【答案】D【解析】因为，所以，因为Q是的中点，所以，因为M为PQ的中点，所以，故选：D2在平行六面体中，M为与的交点，若，则下列向量中与相等的向量是()ABCD【答案】B【解析】在平行六面体中，M为与的交点，.故选：B3如图，在三棱柱中，与相交于点，则线段的长度为()A B C D【答案】A【解析】由图形易得，所以，即.故选：A4已知四面体OABC，G1是ABC
6、的重心，G是OG1上一点，且OG3GG1，若，则为()ABCD【答案】A【解析】如图所示，连接AG1并延长，交BC于点E，则点E为BC的中点，则，由题设，所以.故选：A二、填空题5已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于1，点E，F分别是BC，AD的中点，则的值为_【答案】.【解析】根据题意ABCD为正四面体，两两成角，,由，所以故答案为：6如图，已知空间四边形ABCD中，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则_.(用向量表示)【答案】【解析】设G为BC的中点，连接EG，FG，则.故答案为：7在平行六面体中，且，则的余弦值是_.【答案】.【解析】由题设，可得如下示意图，设，则，又，所以，所以以.，所以故答案为：.三、解答题8如图，在四棱锥中，底面是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且.若是的中点，设.(1)将空间向量与用表示出来；(2)求线段BM的长.【解析】1)(2)由题可知因为，又因为，所以.易得，所以，所以，即的长为.9已知在平行六面体中，且.(1)求的长；(2)求向量与夹角的余弦值.【解析】(1)在平行六面体中，为空间的一个基底，因为，且，则，所以.(2)由(1)知，则，又，所以向量与夹角的余弦值.第 10 页 共 10 页
