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1、第15讲 抛物线【题型归纳目录】题型一：抛物线的定义题型二：求抛物线的标准方程题型三：抛物线的综合问题题型四：轨迹方程题型五：抛物线的几何性质题型六：抛物线中的范围与最值问题题型七：焦半径问题【知识点梳理】知识点一：抛物线的定义定义：平面内与一个定点和一条定直线(不经过点)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线知识点诠释:(1)上述定义可归纳为“一动三定”，一个动点，一定直线；一个定值(2)定义中的隐含条件：焦点F不在准线上，若F在上，抛物线变为过F且垂直与的一条直线.(3)抛物线定义建立了抛物线上的点、焦点、准线三者之间的距离关系，在解题时常与抛物线的定
2、义联系起来，将抛物线上的动点到焦点的距离与动点到准线的距离互化，通过这种转化使问题简单化.知识点二：抛物线的标准方程抛物线标准方程的四种形式：根据抛物线焦点所在半轴的不同可得抛物线方程的的四种形式，。知识点诠释：只有当抛物线的顶点是原点，对称轴是坐标轴时，才能得到抛物线的标准方程；抛物线的焦点在标准方程中一次项对应的坐标轴上，且开口方向与一次项的系数的正负一致，比如抛物线的一次项为，故其焦点在轴上，且开口向负方向(向下)抛物线标准方程中一次项的系数是焦点的对应坐标的4倍.从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一次项系数。用待定系数法求抛物线的标准方程时，首先根据已知条件确定抛物线的标准方程的
3、类型(一般需结合图形依据焦点的位置或开口方向定型)，然后求一次项的系数，否则，应展开相应的讨论.在求抛物线方程时，由于标准方程有四种形式，易混淆，可先根据题目的条件作出草图，确定方程的形式，再求参数p，若不能确定是哪一种形式的标准方程，应写出四种形式的标准方程来，不要遗漏某一种情况。知识点三：抛物线的简单几何性质：抛物线标准方程的几何性质范围：，抛物线y2=2px(p0)在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点M的坐标(x，y)的横坐标满足不等式x0；当x的值增大时，|y|也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。抛物线是无界曲线。对称性：关于x轴对称抛物线y2=2px(p0)关于x
4、轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴。抛物线只有一条对称轴。顶点：坐标原点抛物线y2=2px(p0)和它的轴的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是(0，0)。抛物线标准方程几何性质的对比图形标准方程y2=2px(p0)y2=2px(p0)x2=2py(p0)x2=2py(p0)顶点O(0，0)范围x0， x0，y0，y0，对称轴x轴y轴焦点离心率e=1准线方程焦半径知识点诠释：(1)与椭圆、双曲线不同，抛物线只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴，一条准线；(2)标准方程中的参数p的几何意义是指焦点到准线的距离；p0恰恰说明定义中的焦点F不在准线上这一隐含条件；参数p的几何意义在解题时常
5、常用到，特别是具体的标准方程中应找到相当于p的值，才易于确定焦点坐标和准线方程.【典例例题】题型一：抛物线的定义例1若P为抛物线y2=2px(p0)上任意一点，F为抛物线的焦点，则以|PF|为直径的圆与y轴的位置关系为()A相交B相离C相切D不确定【答案】C【解析】如图所示，设的中点，作轴、轴分别交轴于点，由抛物线的定义，可得，又由梯形的中位线的性质，可得，所以以为直径的圆与轴相切.故选：C.例2若抛物线上一点到轴的距离为，则点到该抛物线焦点的距离为()ABCD【答案】C【解析】因为点到轴的距离为，所以点P的横坐标为，所以点P的纵坐标，抛物线的准线为.所以到抛物线准线的距离为，即点到该抛物线焦
6、点的距离为.故选：C例3已知抛物线的焦点为F，是C上一点，则()A1B2C3D4【答案】C【解析】依题意知，焦点，由定义知：，所以，所以故选：C.例4抛物线的方程为，抛物线上一点P的横坐标为，则点P到抛物线的焦点的距离为()A2B3C4D5【答案】B【解析】依题意，抛物线的准线方程为，而点在抛物线上，则，所以点P到抛物线焦点的距离为.故选：B例5已知为抛物线：的焦点，纵坐标为5的点在C上，则()A2B3C5D6【答案】D【解析】依题意，抛物线：的焦点，准线方程为，显然有，所以.故选：D题型二：求抛物线的标准方程例6点到抛物线的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是()AB或C或D【答案】C【解
7、析】当时，抛物线开口向上，准线方程，点到准线的距离为，解得，所以抛物线方程为；当时，抛物线开口向下，准线方程，点到准线的距离为，解得或(舍去)，所以抛物线方程为所以抛物线的方程为或故选：C例7准线方程为的抛物线的标准方程是()ABCD【答案】D【解析】根据题意，抛物线的准线方程为，即其焦点在轴负半轴上，且，得，故其标准方程为：.故选：D.例8准线方程为的抛物线的标准方程是()ABCD【答案】B【解析】准线方程，则，故抛物线的标准方程是.故选：B例9经过点的抛物线的标准方程是()A或B或C或D或【答案】C【解析】设抛物线的方程为或，将点代入，可得或，解得或，故抛物线的标准方程为或，故选：C例10
8、若抛物线上一点到其准线的距离为3，则抛物线的标准方程为()ABCD【答案】A【解析】到其准线的距离为，故抛物线方程为，故选：A例11已知抛物线的准线方程为，则该拋物线的标准方程为()ABCD【答案】D【解析】由题知，抛物线的准线方程为， 所以抛物线开口向左，即，设拋物线的标准方程为，所以拋物线的标准方程为，故选：D例12已知抛物线的焦点为，则抛物线的标准方程为()ABCD【答案】D【解析】因为抛物线的焦点为在y轴上，令x2=2py(p0)且，得所以抛物线的标准方程为.故选：D题型三：抛物线的综合问题例13(多选题)已知抛物线的焦点为，是抛物线上两点，则下列结论正确的()A点的坐标为B若直线经过
9、焦点，则C若，则线段的中点到轴的距离为D若直线经过焦点且满足，则直线的倾斜角为【答案】BC【解析】抛物线的焦点为,故A错误；过作直线交抛物线于两点，显然的斜率存在，设的方程为，与联立消去整理得0恒成立.设，则，故B正确；，根据抛物线定义得，则，而由中点坐标公式得点P的纵坐标，即为点P到x轴的距离为，故C正确；由得，又当解得：，则直线的倾斜角为，当，解得：，则直线的倾斜角为， 故D错误.故选：BC例14(多选题)斜率为1的直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于两点则下列结论正确的有()AB抛物线的准线方程为CD【答案】AC【解析】由抛物线知，焦点，准线方程为，所以A正确，B不正确.由，消去得
10、：，所以，所以，所以C正确；所以，所以D不正确.故选：AC例15(多选题)已知点，点，点在抛物线上，则()A当时，最小值为1B当吋，的最小值为4C当时，的最小值为3D当吋，的最大值为2【答案】ABD【解析】当时，作抛物线的准线，过作，过作，如下图所示：可得恰为抛物线的焦点，由抛物线定义可得，则，故A、B正确；当时，连接，如下图所示：设，则，当时，取得最小值为，故C错误；则，当在线段的延长线上时，等号成立，故D正确.故选：ABD.例16(多选题)已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线过点且与抛物线交于A、B两点，若是线段AB的中点，则()ABC直线的方程为D【答案】BC【解析】由题知，故抛物线方程
11、为.设，易知，则，由点差法可得又是线段AB的中点，所以，所以直线l的斜率因为直线l过焦点，所以l的方程为，即对于A：将代入可得，A错误；对于B：B正确；对于C：C正确；对于D：将代入得，所以，所以，故D错误.故选：BC例17(多选题)已知直线过抛物线的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为M，N，则下列说法正确的是()A抛物线的方程为B线段的中点到y轴的距离为C线段的长度为D【答案】ACD【解析】显然抛物线的焦点F在x轴上，直线与x轴交于点，即，则，解得，抛物线的方程为，准线方程为，A正确；由消去并整理得：，设，则有，线段的中点横坐标为，因此线段的中
12、点到y轴的距离为，B错误；，因此线段的长度为，C正确；显然点，则，即，因此，D正确.故选：ACD题型四：轨迹方程例18若动点到点的距离等于它到直线的距离，则点的轨迹方程是()ABCD【答案】D【解析】依题意，动点到点的距离等于它到直线的距离，所以的轨迹为抛物线，所以点的轨迹方程为.故选：D例19已知圆的方程为，若抛物线过点A(1，0)，B(1，0)，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程为()ABCD【答案】C【解析】设切点为(a，b)，则切线为：，即，当时也成立，设焦点(x，y)，由抛物线定义可得：，-得，代入得化简可得抛物线的焦点轨迹方程为，(依题意焦点不能与A，B共线，y0)故选：C
13、例20在平面直角坐标系xOy中，动点到直线的距离比它到定点的距离小1，则P的轨迹方程为()ABCD【答案】D【解析】由题意知动点到直线的距离与定点的距离相等，由抛物线的定义知，P的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以，轨迹方程为，故选：D例21已知动圆M与直线y=2相切，且与定圆 外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A BC D【答案】A【解析】设动圆圆心为M(x，y)，半径为r，由题意可得M到C(0，3)的距离与到直线y3的距离相等,由抛物线的定义可知，动圆圆心的轨迹是以C(0，-3)为焦点，以y3为准线的一条抛物线，所以，其方程为，故选：A例22已知在平面直角坐标系中有一定点，动点到y轴的距
14、离为d，且，则动点P的轨迹方程为()ABCD【答案】B【解析】动点到y轴的距离为d，且，动点到定点的距离与到直线的距离相等，根据抛物线的定义可知：动点的轨迹是抛物线，并且其焦点为：，准线为：，所以其抛物线的方程为.故选：B.例23与圆：外切，又与轴相切的圆的圆心的轨迹方程是()AB()和()C()D()和()【答案】D【解析】将化为，则圆心的坐标为，半径为2设动圆的圆心为，半径为，则根据题意，且，即当时，得，即，当时，得，即故选：D.例24已知抛物线C：y28x的焦点为F，点P是抛物线C上一动点，则线段FP的中点Q的轨迹方程是()ABCD【答案】A【解析】设Q(x，y)，P(x1，y1)，则，又F(2，0)，由
