《2024年高中数学新高二暑期培优讲义第05讲 空间向量及其运算的坐标表示（教师版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024年高中数学新高二暑期培优讲义第05讲 空间向量及其运算的坐标表示（教师版）（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第05讲 空间向量及其运算的坐标表示【题型归纳目录】题型一：空间向量的坐标表示题型二：空间向量的直角坐标运算题型三：空间向量的共线与共面题型四：空间向量模长坐标表示题型五：空间向量平行坐标表示题型六：空间向量垂直坐标表示题型七：空间向量夹角坐标表示【知识点梳理】知识点一、空间直角坐标系1、空间直角坐标系从空间某一定点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系，点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是平面、yOz平面、zOx平面.2、右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中
2、指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.3、空间点的坐标空间一点A的坐标可以用有序数组(x，y，z)来表示，有序数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记作A(x，y，z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.知识点二、空间直角坐标系中点的坐标1、空间直角坐标系中点的坐标的求法通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标.特殊点的坐标：原点；轴上的点的坐标分别为；坐标平面上的点的坐标分别为.2、空间直角坐标系中对称点的坐标在空间直角坐标系中，点，则有点关于原点的对称点是；点关于横轴(x轴)的对称点是
3、；点关于纵轴(y轴)的对称点是；点关于竖轴(z轴)的对称点是；点关于坐标平面的对称点是；点关于坐标平面的对称点是；点关于坐标平面的对称点是.知识点三、 空间向量的坐标运算(1)空间两点的距离公式若，则即:一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。，或.知识点诠释：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量的坐标表示，然后再用模长公式推出。(2)空间线段中点坐标空间中有两点，则线段AB的中点C的坐标为.(3)向量加减法、数乘的坐标运算若，则;(4)向量数量积的坐标运算若，则即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。(5)空间向量
4、长度及两向量夹角的坐标计算公式若，则(1).(2).知识点诠释：夹角公式可以根据数量积的定义推出：，其中的范围是.用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与的关系(相等，互余，互补)。(6)空间向量平行和垂直的条件若，则规定：与任意空间向量平行或垂直作用：证明线线平行、线线垂直.【典例例题】题型一：空间向量的坐标表示例1已知平行四边形，且，则顶点的坐标为()A B C D【答案】D【解析】设，则，由题意得：，即，解得：，故顶点的坐标为.故选：D例2已知点，则点的坐标为_【答案】【解析】点，则设点，则由，则 ，即，所以点的坐标为故答案为：例3已知点，若点为线段AB上靠近的三等分点，则点的
5、坐标为_.【答案】【解析】由题设，而，令，则，可得，即.故答案为：题型二：空间向量的直角坐标运算例4若，则()A-11B3C4D15【答案】C【解析】由已知，.故选：C例5已知向量,则()ABCD【答案】B【解析】向量,.故选:B.题型三：空间向量的共线与共面例6已知，若与共线，则实数()A-2BCD2【答案】B【解析】，.与共线，即.故选：B.例7已知向量，若共面，则实数的值为()AB1CD【答案】D【解析】因为共面，则设，所以，解得，所以，故选：D.题型四：空间向量模长坐标表示例8设空间向量，若，则_【答案】3【解析】，则显然，解得，则，故答案为：3.题型五：空间向量平行坐标表示例9在空间
6、直角坐标系中，若，则实数_.【答案】4【解析】由题意得，即，所以，解得.故答案为：4题型六：空间向量垂直坐标表示例10已知空间向量，若，则_.【答案】【解析】空间向量，由，得，解得，所以.故答案为：题型七：空间向量夹角坐标表示例11已知向量，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围为_.【答案】【解析】因为向量，且与的夹角为钝角，所以，且，解得，所以实数的取值范围为，故答案为：例12已知向量，若向量与所成角为钝角，则实数的范围是_.【答案】【解析】因为，所以，解得，所以，所以，因为向量与所成角为钝角，所以，解得，若向量与共线，则，解得，此时与共线同向，综上可得.故答案为：例13已知向量，若向量与的夹
7、角为锐角，则实数的取值范围是_.【答案】且【解析】因为，所以，因为向量与的夹角为锐角，所以，解得，当时，解得，所以实数的取值范围为且.故答案为：且.【过关测试】一、单选题1若向量，且与夹角的余弦值为，则等于()ABC或D2【答案】A【解析】因为， 所以，又与夹角的余弦值为，所以，解得，注意到，即，所以.故选：A.2已知向量，若，则的值为()ABCD【答案】D【解析】因为，所以，又，所以，解得.故选：D.3已知向量,若三个向量共面,则实数m等于()A4B6C8D10【答案】A【解析】由共面可得，即，所以，解得故选：A4长方体中，E为与的交点，F为与的交点，又，则长方体的高等于()ABCD【答案】
8、C【解析】设长方体的长为，由长方体的性质建立如图所示的空间直角坐标系，则，则，由可得，所以，解得：.故选：C.5设，则AB的中点M到点C的距离()ABCD【答案】C【解析】因为的中点，所以 故选：C6已知空间直角坐标系中， ，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为()ABCD【答案】C【解析】因点Q在直线上运动，则，设，于是有，因为，所以，因此，于是得，则当时，此时点Q，所以当取得最小值时，点Q的坐标为.故选：C二、填空题7已知，且，则为_.【答案】【解析】，且，即，解得又故答案为：8已知空间向量，若，共面，则_【答案】【解析】若，共面，则存在实数，使，即所以，解得，所以故答案为：9已知向量，若向量与的夹角为锐角，求实数的取值范围_.【答案】【解析】因为，所以，因为向量与的夹角为锐角，所以，解得，而当时，解得，所以实数的取值范围为.故答案为：三、解答题10已知空间三点，设，(1)设，求；(2)求与的夹角；(3)若与互相垂直，求k【解析】(1)由题可知，由，得，设，因为，所以，解得，所以或(2)因为、，所以，则，所以与的夹角为(3)因为，又与垂直，所以，解得或11如图，在直三棱柱中，分别是，的中点(1)求的距离；(2)求的值【解析】(1)如图，以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，依题意得，所以的距离为.(2)依题意得，第 10 页 共 10 页
