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1、2023年7月浙江省普通高中学业水平考试数学试卷本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分100分，考试时间80分钟考生注意：1答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上2答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效3非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑选择题部分（共52分）一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分每小题列出的四个备选项中，只有一个是符合题目要求的，不选、多选
2、、错选均不得分）1. 已知集合，则下列结论不正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据交集、并集的定义求出，再根据元素与集合的关系、集合与集合的关系判断即可.【详解】因为，所以，所以，故A、B、C正确，D错误；故选：D2. 函数y= 的定义域是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据偶次方根的被开方数为非负数、分式的分母不为零列不等式，由此求得函数的定义域.【详解】依题意，解得，所以的定义域为.故选：C【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.3. 复数在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【
3、答案】B【解析】【分析】根据复数乘法运算化简，即可求解.【详解】，故对应的点为，位于第二象限，故选：B4. 已知平面向量，若，则实数（ ）A. 2B. C. 1D. 【答案】A【解析】【分析】依题意可得，根据数量积坐标表示计算可得.【详解】因为，且，所以，解得.故选：A5. 已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用给定条件得到，再利用二倍角公式求解即可.【详解】若，可得，化简得，解得，由二倍角公式得，故B正确.故选：B6. 上、下底面圆的半径分别为、，高为的圆台的体积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据圆台的体积公式计算可得.【详解】因为圆
4、台的上、下底面圆的半径分别为、，高为，所以故选：A7. 从集合中任取两个数，则这两个数的和不小于的概率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】列出所有可能结果，再由古典概型的概率公式计算可得.【详解】从集合中任取两个数所有可能结果有、共个，其中满足两个数的和不小于的有、共个，所以这两个数的和不小于的概率.故选：C8. 大西洋鲑鱼每年都要逆游而上，游回产地产卵 研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速（单位：）可以表示为，其中表示鲑鱼的耗氧量的单位数若一条鲑鱼游速为时耗氧量的单位数为，则游速为的鲑鱼耗氧量是静止状态下鲑鱼耗氧量的（ ）A. 3倍B. 6倍C. 9倍D. 12倍【答案】C【
5、解析】【分析】利用给定条件得到，再算出不同情况的消耗氧气的数量，再作比值求倍数即可.【详解】由题意得，解得，故，当时，有，解得，当时，有，解得，故得倍，故C正确.故选：C9. 不等式（其中为自然对数的底数）的解集是（ ）A. B. C. 或D. 或【答案】B【解析】【分析】写出不等式的等价不等式组，解得即可.【详解】不等式等价于或，解得或，所以不等式的解集为.故选：B10. 已知为实数，则“，”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用分离参数法求出的取值范围判断充分性，利用基本不等式反推必要性成立即可.【详解】
6、若则当时，不等式的右边取得最大值1，故充分性成立；若则时, 当且仅当时取等，即恒成立，因此，由可以推出，故必要性成立.综上所述，是的充要条件.故选：C.11. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用给定的区间，求出的范围，然后写出正弦函数的单调递增区间，转化为子集问题处理即可.【详解】当时，若函数在区间上单调递增， 则，解得，又，当时,可得.故选：A.12. 在正三棱台中，侧棱与底面所成角的余弦值为 若此三棱台存在内切球（球与棱台各面均相切），则此棱台的表面积是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】取BC和的中点分别
7、为P，Q，上、下底面的中心分别为，设，内切球半径为r，根据题意求出侧棱长以及，再根据切线的性质及等腰梯形和梯形的几何特点列方程组求出半径，再根据面积计算公式即可.【详解】如图，取BC和的中点分别为P，Q，上、下底面的中心分别为，设，内切球半径为r，因为，棱台的高为2r，所以，同理因为内切球与平面相切，切点在上，所以，在等腰梯形中，由得在梯形中，由得，代入得，则棱台的高，所以,所以，正三棱台三个侧面都是面积相等的等腰梯形，故侧面积为,所以此棱台的表面积是.故选：A二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分每小题列出的四个备选项中，有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没有错
8、选得2分，不选、错选得0分）13. 下列不等式正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】BC【解析】【分析】根据指数幂的运算及指数函数的性质判断A、B，根据对数的运算性质及对于函数的性质判断C、D.【详解】，故A错误，B正确；，故C正确，D错误.故选：BC14. 如图，在正方体中，下列结论正确的是（ ）A. B. 平面C. D. 平面【答案】BD【解析】【分析】连接，根据正方体的性质得到，即可判断A、B、C，证明、，即可判断D.【详解】连接，对于A：在正方体中且，所以四边形为平行四边形，所以，又，所以，所以A错误；对于B，因为，平面，平面，所以平面，所以B正确；对于C：因为等边三角形，所以
9、，又，所以为异面直线与所成的角，即直线与所成的角为，则与不垂直，所以C错误；对于D：正方体中，平面，平面，所以，又，平面，所以平面，所以D正确故选：BD15. 已知函数，则（ ）A. 的最小值是B. 的最大值是C. 在区间内存在零点D. 在区间内不存在零点【答案】ACD【解析】【分析】利用三角恒等变换将函数化为二次函数，求解最值判断A，B，利用换元法求解零点，再判断范围求解C，D即可.【详解】易得，故函数在时，取得的最大值为，当时，函数取得的最小值为，故A正确，B错误，令，故，令，解得或，当时，排除，无法解出，当时，可得，而在上单调递增，故当，且，则在区间内存在零点，故C正确，而当时，显然和无
10、交点，则在区间内不存在零点，故D正确.故选：ACD.16. 在中，点，分别满足，与相交于点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】根据平面向量线性运算法则判断A，设，用、表示，根据共线定理的推论得到方程求出，即可判断B，由及数量积的运算判断C，求出，即可判断D.【详解】对于A，故A错误；对于B，设，又，又，三点共线，故B正确；对于C，故C正确；对于D，又，又，故D正确故选：BCD非选择题部分（共48分）三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）17. 已知，是相互独立事件，则_【答案】【解析】【分析】根据相互独立事件的概率公式计算即可.【详解】因为，是相互独立事件
11、，所以.故答案为：18. 函数的反函数为_.【答案】【解析】【分析】设，由指对数式的互化得到，再将位置互换即可得出答案.【详解】解：设，则，所以函数的反函数为.故答案为：.19. 已知是定义域为的偶函数，且，则_【答案】2【解析】【分析】利用给定条件，得到函数的周期性，将所求函数值化为已知函数值，代入求解即可.【详解】由题意得是定义域为的偶函数，且，故，可得，故得函数的周期，而令，可得，解得，则.故答案为：220. 已知是同一平面上的3个向量，满足，则向量与的夹角为_，若向量与的夹角为，则的最大值为_【答案】 . # . 【解析】【分析】由求出向量与的夹角，设，即可得到四点共圆，利用正弦定理求
12、出外接圆的直径，即可求出的最大值.【详解】因为，所以，又，所以，因为，如图，设，则，又向量与的夹角为，则，又，所以四点共圆，又，所以，设外接圆的半径为，由正弦定理，所以的最大值为.故答案为：；四、解答题（本大题共3小题，共33分）21. 人工智能发展迅猛，在各个行业都有应用 某地图软件接入了大语言模型后，可以为用户提供更个性化的服务，某用户提出：“请统计我早上开车从家到公司的红灯等待时间，并形成统计表 ”地图软件就将他最近100次从家到公司的导航过程中的红灯等待时间详细统计出来，将数据分成了，（单位：秒）这5组，并整理得到频率分布直方图，如图所示（1）求图中的值并且估计该用户红灯等待时间的第6
13、0百分位数（结果精确到0.1）；（2）根据以上数据，估计该用户在接下来的10次早上从家到公司的出行中，红灯等待时间低于85秒的次数【答案】（1），估计该用户红灯等待时间的第60百分位数约为82.1 （2）7次【解析】【分析】（1）根据频率之和为1以及直方图数据即可求解，先确认频率分布直方图中频率为0.6的位置，再结合百分位数定义求解即可.（2）根据频率分布直方图求出红灯等待时间低于85秒频率即可求解.【小问1详解】因为各组频率之和为1，组距为10，所以，解得.因为，所以中位数位于第三组中，设中位数为x，则，解得，所以该用户红灯等待时间的中位数的估计值为82.1.【小问2详解】由题红灯等待时间低于85秒的频率为，故估计该用户在接下来的10次中红灯等待时间低于85秒的次数为次.22. 如图，在三棱锥中，平面，（1）求三棱锥的体积；（2）求证：平面平面；（3）设点在棱上，求二面角的正弦值【答案】（1） （2）证明见解析 （3）【解析】【分析】（1）先求出底面积，再利用体积公式求解体积即可.（2）先利用线面垂直判定定理得到平面，再利用面面垂直定理判定面面垂直即可.（3）合理作图，找到二面角的平面角，利用三角函数的定义求解即可.【小问1详解】因为，所以，因为平面,所以三棱锥的体积.【小问2详解】因为平面,平面,所
