《重庆市名校2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试卷(含答案)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《重庆市名校2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试卷(含答案)（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、重庆市名校2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试卷学校：_姓名：_班级：_考号：_一、选择题1( )A.B.C.D.2已知向量，若向量与向量平行，则x的值为( )A.B.0C.D.3用斜二测画法作一个边长为6的正方形，则其直观图的面积为( )A.36B.C.D.4若，且，则向量，的夹角为( )A.B.C.D.5在中，则( )A.B.C.D.6中国国家馆，以城市发展中的中华智慧为主题，表现出了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化精神与气质.如图，现有一个与中国国家馆结构类似的正四棱台，上下底面的中心分别为和O，若，则正四棱台的体积为( )A.B.C.D.7如图，在中，
2、若，则的值为( ).A.B.3C.2D.8已知中，点D为的中点，点M为边上一动点，则的最小值为( )A.27B.0C.D.二、多项选择题9下列说法不正确的是( )A.若直线面，直线面，则直线，直线b无公共点B.若直线面，则直线l与面内的直线平行或异面C.有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱D.有两个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台10在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列叙述正确的是( )A.，有两解B.若，则为等腰三角形C.若为锐角三角形，则D.若，则为钝角三角形11“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四
3、心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是内一点，的面积分别为，且.以下命题正确的有( )A.若，则M为的重心B.若M为的内心，则C.若，M为的外心，则D.若M为的垂心，则三、填空题12复数与分别表示向量与，则向量表示的复数是_.13在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，.若，则的面积为_.14在三棱锥中，则三棱锥外接球的表面积为_.四、解答题15如图，在棱长为2的正方体中，截去三棱锥，求（1）截去的三棱锥的表面积；（2）剩余的几何体的体积.16已知向量，.（1）求的坐标以及与之间的夹角；（2）当时，求的取值范围.17某景区为打造景区风景亮点，欲在一不规则湖面区
4、域（阴影部分）上A，B两点之间建一条观光通道，如图所示.在湖面所在的平面（不考虑湖面离地平面的距离，视湖面与地平面为同一平面）内距离点B50米的点C处建一凉亭，距离点B70米的点D处再建一凉亭，测得，.（1）求的值；（2）测得，观光通道每米的造价为2000元，若景区准备预算资金8万元建观光通道，问：预算资金够用吗？18定义在封闭的平面区域D内任意两点的距离的最大值称为平面区域D的“直径”.如图，已知锐角三角形的三个顶点A，B，C在半径为1的圆上，角的对边分别为a，b，c，若.（1）求角A的大小；（2）分别以各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和构成平面区域D，求平面区域D的“直径”的取值范围.
5、19如图，在中，为钝角，.过点B作的垂线，交于点D，E为延长线上一点，连接，若.（1）求边的长；（2）证明：；（3）设，是否存在实数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.参考答案1答案：C解析：.故选：C.2答案：A解析：向量，又向量与向量平行，解得.故选：A.3答案：C解析：在斜二测画法中，直观图面积是原图形面积的，而边长为6的正方形面积为，所以所求的直观图的面积为.故选：C.4答案：B解析：根据题意，由于向量，且，故，又向量夹角的范围为，故可知向量，的夹角为.故选：B.5答案：A解析：在中，根据余弦定理：可得，即由故.故选：A.6答案：B解析：因为是正四棱台，侧面以及对角面
6、为等腰梯形，故，所以，所以该四棱台的体积为，故选：B.7答案：B解析：因为，所以，因为，所以，所以，故选：B.8答案：D解析：以所在直线为x轴，线段的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，由题意可知，设，其中，则，故，所以当时，有最小值.故选：D.9答案：ACD解析：对于A：如图，a与b可能相交，故A错误；对于B：直线，所以l与平面没有公共点，所以l与平面内的直线平行或异面，故B正确；对于C：有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱，如图所示，符合题意，但几何体不是棱柱，故C错误；一个平行于棱锥的底面的平面截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台，所以棱台各侧棱的延长线交于一点，其余各
7、面都是梯形的几何体侧棱可能不交于一点，故D错误.故选：ACD.10答案：CD解析：对于A，因为，所以，又，所以，不满足内角和定理，所以满足条件的三角形不存在，A错误；对于B，因，所以，所以，即，因为且，所以或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形，故B错误；对于C，若为锐角三角形，则，所以，所以，即，C正确；对于D，若，则，设，则，因为，所以，即C为钝角，D正确.故选：CD.11答案：ABD解析：对A选项，因为，所以，取的中点D，则，所以，故A，M，D三点共线，且，同理，取中点E，中点F，可得B，M，F三点共线，C，M，E三点共线，所以M为的重心，A正确；对B选项，若M为的内心，可设内切圆半径为
8、r，则，所以，即，B正确；对C选项，若，M为的外心，则，设的外接圆半径为R，故，故，所以，C错误；对D选项，若M为的垂心，则，如图，相交于点M，又，即，即，即，设，则，因为，所以，即，则，D正确；故选：ABD.12答案：解析：复数与分别表示向量与，又，向量表示的复数是.故答案为：.13答案：解析：由正弦定理角化边得，即，所以，因为，所以，因为，所以.故答案为：.14答案：解析：由，中，由余弦定理可得，所以，则，在中，由余弦定理可得，所以，则，取中点O，则在和中，则三棱锥外接球的球心为O，其半径为，所以三棱锥外接球的表面积为，故答案为：.15答案：（1）（2）解析：（1）由正方体的特点可知三棱锥
9、中，是边长为的等边三角形，、都是直角边为2的等腰直角三角形，所以截去的三棱锥的表面积.（2）正方体的体积为，三棱锥的体积为，所以剩余的几何体的体积为.16答案：（1），（2）解析：（1）因为，所以，设与之间的夹角为，则，因为，所以与之间的夹角为.（2），因为，所以，故的取值范围是.17答案：（1）（2）预算资金够用解析：（1）由，得，则，在中，由正弦定理得，即，所以.（2）在中，由余弦定理得，整理得，解得（舍去）.在中，所以，又，解得.在中，所以.由于观光通道每米的造价为2000元，所以总造价低于元，故预算资金够用.18答案：（1）（2）解析：（1）在锐角中，由，得，由正弦定理得，即，又，从而
10、，而，则，又，所以.（2）如图，F，G是AC，BC的中点，E，F，G，H四点共线，设P，Q分别为、上任意一点，即PQ的长小于等于周长的一半，当PQ与HE重合时取等，同理，三个半圆上任意两点的距离最大值等于周长的一半，因此区域D的“直径”为的周长l的一半，由正弦定理得：，则，由为锐角三角形，得，即，则，于是，所以平面区域D的“直径”的取值范围是.19答案：（1）4（2）证明见解析（3）存在，解析：（1）由题意，为锐角，.在中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，由余弦定理可得，即，解得或.因为为钝角，取.即的长为4.（2）由题意，根据勾股定理：，所以，从而.在和中，由正弦定理得，两式相除得，因为，所以又，所以，即.（3）在和中，由正弦定理得，两式相除得，由（2）可知，所以，若，则故存在实数，使得.
