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1、湖北省部分学校2023-2024学年高二下学期6月月考数学试卷学校：_姓名：_班级：_考号：_一、选择题1已知集合,则( )A.B.C.D.2已知i为虚数单位,z为复数,则下列命题正确的是( )A.若,则B.若z的实部为0,则z是纯虚数C.若,则z的虚部是D.若,则3已知两个单位向量,的夹角为,则( )A.B.1C.D.4已知函数（是的导函数）,则( )A.1B.-2C.11D.-115已知数列的前n项和（r为常数）,则“”是“为等比数列”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6某陶瓷厂上釉车间有A,B两条生产线,现随机对这两条生产线所生产的产品进行抽
2、检,抽检A生产线的产品的概率为,抽检B生产线的产品的概率为.经过大量数据分析得A生产线的次品率为,如果本次抽检得到的产品为次品的概率为,据此估计B生产线的次品率为( )A.9%B.8.67%C.8%D.6%7设函数,若,且,则的取值范围为( )A. B.C.D.8如图,已知双曲线的右焦点为F,过原点的直线l与E交于A,B两点,A在第一象限,延长交E于多一点C,若且,则E的离心率为( )A.B.C.D.二、多项选择题9下列函数中,在定义域内既为奇函数,又为增函数的是( )A.B.C.D.10在平面直角坐标系中,F为抛物线的焦点,过F的直线l与C在第一象限交于点A,则( )A.Q到直线l距离的最大
3、值为B.若O,Q到直线l的距离相等,则l的倾斜角为C.的最小值是D.当A在直线的上方时,面积的最大值为11如图,在棱长均为2的正三棱柱中,M是棱的中点,过点作平面与直线垂直,过点B作平面与平面平行,则( )A.当时,截正三棱柱所得截面的面积为B.当时,截正三棱柱所得截面的面积为C.若截正三棱柱所得截面为三角形,则的取值范围为D.若,则截正三棱柱所得截面为四边形三、填空题12已知,则_.13已知随机变量,则的展开式中含项的系数为_.四、双空题14定义函数,已知函数,则的值域为_;若函数恰有3个零点,则实数k的取值范围为_.五、解答题15为了解甲乙两所学校高二年级学生在20232024学年度第二学
4、期期末考试中的物理成绩情况,采用随机抽样方法从两所学校各抽取50名学生的物理成绩,并作出了频数分布统计表如下：分组甲校频数34181510乙校频数26121812（1）分别估计甲校物理成绩的75%分位数（精确到0.1）和乙校物理成绩的平均分（同一组中的数据用该区间的中点值代表）：（2）根据以上统计数据完成22列联表（成绩不低于60分的视为及格）,并依据的独立性检验,判断两所学校的物理成绩的及格率是否存在差异.甲校乙校合计及格不及格合计参考公式：,其中.参考数据：0.100.050.0102.7063.8416.63516已知数列满足：,.（1）求;（2）证明：.17如图,三棱锥的底面是边长为2
5、的等边三角形,点S在底面内的射影为的垂心.（1）证明：;（2）设,若,则当取何值时,直线与平面ASC所成角的正弦值最大？18已知函数在和处取得极值.（1）求a,b;（2）,求整数c的最大值.19已知椭圆的离心率为,左右焦点分別为,直线是C与圆的一条公切线.（1）求C的方程;（2）已知过的直线交C于M,N两点,交y轴于P点,若（,分别表示,的面积）,求实数m的取值范围.参考答案1答案：C解析：因为,所以.故选C.2答案：D解析：若,则,故A错误;实部为0的复数可能虚部也为0,从而是实数,故B错误;复数的虚部是1,故C错误;设,则,所以,即,所以,故D正确.故选：D.3答案：A解析：.故选A.4答
6、案：D解析：因为,所以,令,得,解得.故选：D.5答案：C解析：当时,当时,为等比数列,故“”是“为等比数列”的充要条件.故选：C.6答案：D解析：设事件N为“抽检得到的产品为次品,事件,分别表示抽检A,B两条生产线的产品,则,设,所以,解得.故选:D.7答案：B解析：法1：令,得,的图象离y轴最近的一条对称轴为直线,因为,令,根据图象,若,且,则.故选：B.法2：的图象可由的图象向右平移个单位长度得到,其最小正周期,画出的图象（如图）.因为,考虑临界状态,而,若,显然离0最近的满足,解得.若,满足题意,显然.故选：B.8答案：A解析：设E的左焦点为,连接,则,因为,由双曲线的对称性知四边形为
7、矩形.在中,由,得,化简得.在中,由,得,化简得,即离心率.故选：A.9答案：AC解析：对于A,则在R上既为奇函数,又为增函数,故A正确;对于B,因为,所以不为奇函数,故B错误;对于C,所以为奇函数,又,可见为增函数,故C正确;对于D,即,为奇函数,又,在R上不可能为增函数,故D错误.故选：AC.10答案：AD解析：对于A,当时,Q到直线l的距离取得最大值,且最大距离为,故正确;对于B,设l的方程为,若O,Q到直线l的距离相等,则,解得或,故B错误;由题意知,C的准线为直线,焦点,过点A,Q作C的准线的垂线,垂足分别为,则（当且仅当,A,Q共线时取等号）,故的最小值是点Q到C的准线的距离,即为
8、4,故C错误;对于D,当点A到直线的距离取得最大值时,的面积有最大值,此时抛物线C在A处的切线与直线平行.由得,令,解得,所以,A到直线的距离,所以面积的最大值为,故D正确.故选：AD.11答案：ABD解析：对于A,当时,取中点D,连接,如图1.因为,所以,所以.易证平面,因为平面,所以,又,平面,所以平面,故A正确;对于B,当时,取的中点D,的中点E,连接,如图2,由A选项知,因为四边形为正方形,所以,则为所求截面,其面积为,故B正确;对于C,取的中点F,连接,当时,如图3,易知,故平面截正三棱柱所得截面为,故C错误;对于D,若G为中点,当N在上（不含端点）时,即,作出平面截正三棱柱所得截面
9、如图4所示,N从下到上的过程中,截面为四边形,故D正确.故选：ABD.12答案：解析：由,得,解得或（舍）,又因为,所以,所以.13答案：解析：因为,且,所以,则展开式中的第项为,令,解得,故展开式中含项的系数为.14答案：;解析：根据定义知,的图象如图所示,显然的值域为.由,得,因为恰有3个零点,所以的图象与直线恰有3个不同的交点,易求得图中,所对应的值分别为,所以实数k的取值范围为.15答案：（1）甲校物理成绩的分位数估计值为76.7分,乙校物理成绩的平均62.8（2）可以认为成立,即认为甲乙两所学校的物理成绩的及格率没有差异解析：（1）甲校物理成绩的前三组人数频率为,甲校物理成绩的前四组
10、人数频率为,所以甲校物理成绩的分位数位于内.法1：设甲校物理成绩的分位数为,则,解得,所以甲校物理成绩的分位数估计值为76.7分.法2：甲校物理成绩的分位数为.乙校物理成绩的平均分估计值为.（2）列联表如下：甲校乙校合计及格253055不及格252045合计5050100零假设：甲乙两所学校的物理成绩的及格率没有差异,依据的独立性检验,没有充分证据推断不成立,因此可以认为成立,即认为甲乙两所学校的物理成绩的及格率没有差异.16答案：（1）（2）见解析解析：（1）因为,所以数列为等差数列,公差,所以.（2）证明：令,因为,且,所以;因为,所以,因为,所以,故.综上,.17答案：（1）见解析（2）
11、解析：（1）证明：设点S在底面内的射影为O,连接并延长交于E,因为为等边三角形且O为的重心,所以E为的中点,且,因为平面,所以,因为,平面,所以平面,所以.（2）连接,由平面,则,又E为的中点,则.又,所以.以所在直线为x轴,过O且平行于的直线为y轴,所在直线为z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,因为,所以,所以,设平面的法向量为,则即取,则得,所以,所以当时,.故当时,直线与平面所成角的正弦值最大.18答案：（1）（2）1解析：（1）,因为函数在和处取得极值,所以即解得而当,时,当时,;当时,;当时,所以在和上单调递增,在上单调递减,所以和分别是的极大值点极小值点,故满足题意.（2）由题意,恒成立.设,则,显然在R上单调递增.又,所以存在唯一的,使得,即,所以.当时,单调递减;当时,单调递增,所以,当时,所以,由题意知,且,所以整数的最大值为1.19答案：（1）（2）解析：（1）因为直线是圆的一条切线,所以,解得,因为C的离心率,所以,由可得,因为直线是椭圆C的一条切线,所以,结合,解得,所以C的方程为.（2）设,显然的斜率存在且不为0,设的方程为,令,则,则,由得,解得,同理.由得,则,.不妨设,代入,有,则,由,得,.解得,因为,所以.设,则,令,则,故在上单调递增,则,则的值域为,则m的取值范围为.
