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1、2023-2024学年江苏省淮安市金湖中学高一（下）段考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若sinx=2 23，则cos2x=()A. 19B. 19C. 79D. 792.若AB=(3,4)，A(2,1)，则B点的坐标为()A. (1,3)B. (5,5)C. (1,5)D. (5,4)3.已知，(0,2)，且tan=3，tan=2，则+=()A. 512B. 23C. 34D. 564.平面向量a与b的夹角为60，a=(2,0)，|b|=1，则|a+2b|=()A. 3B. 2 3C. 4D. 125.如图，在平行四
2、边形ABCD中，M为AB的中点，AC与DM交于点O，则OM=()A. 16AB13ADB. 13AB23ADC. 12AB12ADD. 14AB13AD6.已知a，b是夹角为120的两个单位向量，若向量a+b在向量a上的投影向量为2a，则=()A. 2B. 2C. 2 33D. 2 337.已知 3sin=cos(3)，则tan2=()A. 33B. 33C. 3D. 38.已知sin()=13,tantan=5，则cos(2+2)=()A. 79B. 12C. 12D. 79二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.四边形ABCD为边长为1的正方形，M
3、为边CD的中点，则()A. AB=2MDB. DMCB=AMC. AD+MC=MAD. AMBC=110.下列选项中其值等于 32的是()A. cos215osin215oB. cos12cos48sin12sin48C. tan30o1tan230oD. 2cos5osin25ocos25o11.如图，ABC中，BD=13BC，点E在线段AC上，AD与BE交于点F，BF=12BE，则下列说法正确的是()A. AD=23AB+13ACB. |AE|=23|EC|C. AF+2BF+CF=0D. SBFD：SAFB=1：3三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设a，b是两个不共线
4、的非零向量，若8a+kb和ka+2b共线，则实数k的值为13.若 3sin+cos=m2，则实数m的取值范围是_14.我们把由平面内夹角成60的两条数轴Ox，Oy构成的坐标系，称为“未来坐标系”，如图所示，e1,e2分别为Ox，Oy正方向上的单位向量，若向量OP=xe1+ye2，则把实数对(x,y)叫做向量OP的“未来坐标”，记OP=x,y，已知x1,y1，x2,y2分别为向量a,b的“未来坐标”，若向量a,b的“未来坐标”分别为1,2，2,1，则向量a,b的夹角的余弦值为_四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知向量a=(3,1)
5、,b=(1,2),m=a+kb(kR)(1)向量a,b夹角的余弦值；(2)若向量m与2ab垂直，求实数k的值；(3)若向量c=(1,1)，且m与向量kb+c平行，求实数k的值16.(本小题12分)已知向量a=(sin12x, 3),b=(1,cos12x)，函数f(x)=ab(1)若f(x)=0，且x2，求x的值；(2)求f(x)的单调递增区间；(3)若f(2+3)=1013,f(2+43)=65,0,2，求cos(+)的值17.(本小题12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(x1,y1)在单位圆O上，xOA=，且(6,2).()若cos(+3)=1113，求x1的值；()若B(x2,y
6、2)也是单位圆O上的点，且AOB=3.过点A、B分别做x轴的垂线，垂足为C、D，记AOC的面积为S1，BOD的面积为S2.设f()=S1+S2，求函数f()的最大值18.(本小题12分)将一块圆心角为120，半径为20cm的扇形铁片裁成一块矩形，有两种裁法(如图所示)，让矩形一边在扇形的一条半径OA(图1)，或让矩形一边与弦AB平行(图2)，对于图1和图2，均记MOA= (1)对于图1，请写出矩形面积S1关于的函数解析式；(2)对于图2，请写出矩形面积S2关于的函数解析式；(提示：OQM=120) (3)试求出S1的最大值和S2的最大值，并比较哪种裁法得到的矩形的面积更大？19.(本小题12分
7、)以C为钝角的ABC中，BC=3(1)若BA=3BM，且|CM|=2,cosACB=13，求CMCB；(2)若BABC=12，当角A最大时，求ABC的面积参考答案1.D2.A3.C4.B5.A6.A7.D8.C9.BD10.AC11.ACD12.413.0,414.131415.解：(1)由已知可得，ab=32=5，|a|= 10，|b|= 5，所以cosa,b=ab|a|b|=5 10 5= 22；(2)由已知可得，2ab=2(3,1)(1,2)=(7,4)，m=a+kb=(3,1)+(k,2k)=(k3,2k+1)，又向量m与2ab垂直，所以m(2ab)=0，即7(k3)+4(2k+1)=
8、15k+25=0，解得k=53；(3)由已知可得，kb+c=k(1,2)+(1,1)=(k+1,2k1)，又m与向量kb+c平行，m=(k3,2k+1)，所以(k3)(2k1)(2k+1)(k+1)=0，解得k=1316.解：(1)因为f(x)=ab=sin12x+ 3cos12x，且f(x)=0；所以sin12x+ 3cos12x=0；因为x2，所以212x，所以cos12x0，所以tan12x= 3，所以12x=23，所以x=43；(2)因为f(x)=sin12x+ 3cos12x=2(12sin12x+ 32cos12x) =2(sin12xcos3+cos12xsin3)=2sin(1
9、2x+3)，令2+2k12x+32+2k，kZ，解得：53+4kx3+4k，kZ，所以函数f(x)的单调增区间为53+4k,3+4k，kZ(3)因为f(2+3)=2sin(+2)=2cos=1013，所以cos=513；又因为f(2+43)=2sin(+)=2sin=65，所以sin=35；因为、0,2，所以sin=1213，cos=45；所以cos(+)=coscossinsin=51345121335=166517.解：()由三角函数的定义有x1=cos，cos(+3)=1113，(6,2)，sin(+3)=4 313，x1=cos=cos(+3)3=cos(+3)cos3+sin(+3)
10、sin3=111312+4 313 32=126()由y1=sin，得S1=12x1y1=12cossin=14sin2由定义得x2=cos(+3)，y2=sin(+3)，又由(6,2)，得+3(2,56)，于是，S2=12x2y2=12cos(+3)sin(+3)=14sin(2+23)f()=S1+S2=14sin214sin(2+23)=14sin214(sin2cos23+cos2sin23)=38sin2 38cos2= 34( 32sin212cos2)= 34sin(26).再根据26(6,56)，可得当26=2，即=3时，函数f()取得最大值 3418.解：(1)对于图1，在O
11、MP中，PM=20sin，OP=20cos，矩形PQMN的面积为S1=20sin20cos=200sin2(090)；(2)对于图2，在OMQ中，由正弦定理得QM=OMsinsin120，由对称性可知，AOB的平分线OC所在直线为对称轴，则MN=2OMsin(60)，OM=20，所以矩形PQMN的面积为S2=QMMN=OMsinsin1202OMsin(60)=800(sincos 33sin2)=80012sin2 331cos22=800 33sin(2+30)12(060)；(3)S1=200sin2(090)，当=45时，S1取最大值，最大值为200；S2=800 33sin(2+30
12、)12(0S1，选择图2裁法得到的矩形的面积更大19.解：(1)因为BA=3BM，所以BM=13BA， 所以CM=CB+BM=CB+13BA=CB+13(CACB)=23CB+13CA，所以|CM|2=(23CB+13CA)2=49|CB|2+49CBCA+19|CA|2，即22=4932+493b(13)+19b2，解得b=4，或b=0(舍去)，在ABC中用余弦定理，AB2=AC2+BC22ACBCcosACB，即AB2=42+32243(13)=33，所以AB= 33，所以BM=13AB= 333，在MBC中，cosMCB=CM2+BC2BM22CMBC=22+32( 333)2223=7
13、9，所以CMCB=|CM|CB|cosMCB=2379=143；(2)在ABC中，BC=3，BABC=12，所以3|BA|cosABC=12，即ccosABC=4，其几何意义为BA在BC方向上的投影始终为4，所以过A作ADBC，垂足为D，则BD=4，如图建立平面直角坐标系， 设ACD=，ABC=，BAC=，A(x,y)，(y0)，tan=y,tan=y4，因为=+，所以=，所以tan=tan()=tantan1+tantan=yy41+yy4=3y+y432 y4y=34，当且仅当y=4y，即y=2时取得等号，当tan=34时，BAC取得最大值，此时ABC边BC上的高为y=2，所以ABC的面积为S=1232=3第8页，共8页
