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1、期末模拟卷-2023-2024学年高中数学人教A版2019必修第二册一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数为虚数单位的虚部是()ABCD2已知向量，若，则()ABCD3在中，内角，所对的边分别为，则（）ABCD4已知平面向量，则下列说法正确的是（）A若，则B若，则C若与的夹角为钝角，则D若，则在上的投影向量为5某企业职工有高级职称的共有15人，现按职称用分层抽样的方法抽取30人，有高级职称的3人，则该企业职工人数为（）A150B130C120D1006如图，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，PA=
2、4，E为侧棱PC的中点，则异面直线BE与PA所成角的正切值为（）ABC1D7在锐角中，角，的对边分别为，若，则周长的取值范围是（）ABCD8闽西革命烈士纪念碑，坐落在福建省龙岩市城西虎岭山闽西革命烈士陵园内，1991年被列为第三批省级文物保护单位，其中央主体建筑集棱台，棱柱于一体，极具对称之美.某同学准备在陵园广场上对纪念碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图（如图），纪念碑的最顶端记为点，纪念碑的最底端记为点（在的正下方），在广场内（与在同一水平面内）选取，两点，测得的长为15米，则根据以上测量数据，可以计算出纪念碑高度为（）A14米B15米C16米D17米二、选择题：本题共3小题，每小题
3、6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9已知复数，则下列说法正确的有（）ABCD在复平面内，对应的点关于虚轴对称10在锐角中，内角，的对边分别为，若，则（）AB的取值范围是CD的取值范围是11如图，一个正八面体的八个面分别标有数字1，2，3，8，任意抛掷一次该正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间，若事件，事件，事件，则（）A事件A，B相互独立B事件A，C相互独立C事件B，C相互独立D三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12已知满足在方向上的数量投影为-2，则的最小值为 .13已知正三棱柱的高是底面边长
4、的2倍，其外接球半径为，点与分别是侧棱，上的动点，则的最大值为 .14如图，在直角梯形中，将沿翻折成，使二面角为，则三棱锥外接球的表面积为 . 四、解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16、17小题15分，第18、19小题17分，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15已知复数，为虚数单位.（1）求；（2）若是关于的方程一个根，求p，q的值.16已知向量，满足，且，（1）求与的夹角；（2）求17已知的内角，所对的边分别是，且（1）求角；（2）若，求周长的最小值，并求出此时的面积18某大型企业为员工谋福利，与某手机通讯商合作，为员工办理流量套餐.为了解该企业员工手机流量使用情况，
5、通过抽样，得到100名员工近一周每人手机日平均使用流量（单位：M）的数据，其频率分布直方图如图：若将每位员工的手机日平均使用流量分别视为其手机日使用流量，回答以下问题.（1）求这100名员工近一周每人手机日使用流量的众数、中位数；（2）在办理流量套餐后，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男员工20名，其手机日使用流量的平均数为800M，方差为10000；抽取了女员工40名，其手机日使用流量的平均数为1100M，方差为40000.（i）已知总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，；，记总的样本平均数为，样本方差为.证明：.
6、（ii）用样本估计总体，试估计该大型企业全体员工手机日使用流量的平均数和方差.19如图所示，平行四边形中，点E为边的中点，将沿着直线翻折为，连接，得到四棱锥.在翻折过程中， （1）求四棱锥体积的最大值；（2）若棱的中点为F，求的长；（3）若二面角的平面角为，求与平面所成角的正弦值.答案解析部分1D2A3D4D5A6D7B8B9A,B10A,B,D11B,C,D12131415（1）解：.（2）解：，即， ，解得，.16（1）解：已知向量，满足，则，又，则，即，则，又，则，即与的夹角为；（2）解：，即17（1）解：因为，即，由正弦定理可得，因为，所以，所以，因为，所以.（2）解：由余弦定理，即，
7、所以，所以，解得或（舍去），当且仅当时取等号，所以，即的周长的最小值为，此时18（1）解：估计这100名员工近一周每人手机日使用流量的众数450由频率分布直方图可知流量少于300的所占比例为，流量少于400的所占比例为，所以抽取的100名员工近一周每人手机日使用流量的中位数在内，且中位数为 .（2）（i）证明：根据方差的定义，总样本的方差为由，可得同理可得因此（ii）解：估计该大型企业全体员工手机日使用流量的平均数为由（i）知，估计该大型企业全体员工手机日使用流量的方差为19（1）取DE的中点O，连接， 是等边三角形，当平面平面时，点到平面的距离最大，四棱锥体积取得最大值，此时平面，底面的面积
8、为，则四棱锥体积的最大值为（2）方法一：取中点，连接， 分别为中点，；四边形为平行四边形，为中点，四边形为平行四边形，由（1）知，为等边三角形，边长为，所以，所以.方法二：延长交于点，连接，四边形为平行四边形，又为中点，为中点，又为中点，为的中点，所以.（3）取中点，连接，连接， ，四边形为平行四边形，四边形为菱形，则翻折后，则即为二面角的平面角，作，垂足为，连接，平面，平面，又平面，又，平面，平面，又平面，；为边长为的等边三角形，又，；方法一：，设点到平面ADE的距离为，解得：，设与平面所成角为，则，即与平面所成角的正弦值为.方法二：取中点，连接，作，垂足为，连接，分别为中点，且，与平面所成角即为与平面所成角；平面，平面，又，平面，平面，即为与平面所成角，又，即与平面所成角的正弦值为.学科网（北京）股份有限公司
