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1、第二章 角平分线模型的构造技巧提炼：与角平分线有关的常用辅助线作业，即角平分线的四大基本模型。已知p是/ Mor平分线上一点，(1) 若PU OM于点A,如图a，可以过P点作PB丄ON于点B,贝U PB=PA可记为“图中有角平分线，可向两 边作垂线”。(2) 若点A是射线OM上任意一点，如图 b,可以在 ON上截取OB=OA连接PB,构造 0卩匪厶OPA可记为 “图中有角平分线，可以将图形对折看，对称以后关系现”。(3) 若AP丄OP于点P,如图c,可延长AP交ON于点B,构造 AOB是等腰三角形，P是底边AB的中点，可 记为“角平分线加垂线，三线合一试试看”。(4) 若过P点作PQ/ ON交
2、OM于点Q如图d,可以构造厶POQ是等腰三角形，可记为“角平分线 +平行线， 等腰三角形必呈现”。例题精讲例1 (1)如图a，在 ABC中，/ C=90 ,AD平分/ CAB BC=6Cm, BD=4cm,那么点 D到直线 AB的距离是 cm。(2) 如图b,已知：/ 仁/2,7 3=7 4，求证：AP平分/ BAC例2如图a在Rt ABC中，7 ACB=90 , CD! AB,垂足为 D, AF平分7 CAB交CD于点E,交CB于点F,(1) 求证：CE=CF(2) 将图a中的 ADE沿 AB向右平移到 A DD E，的位置，使点E落在BC边上，其他条件不变，如图 b,试猜想:BE与CF有怎
3、样的数量有关系？请证明你的结论。ab例3阅读下列学习材料：如图a, OP平分/ MON A为0M上一点，C为0P上一点，连接 AC,在射线ON上截取OB=OA连接BC,易证 AOC OBC请根据上面的学习材料，解答下列各题：(1) 如图5在厶ABC中，人。中厶BAC的外角平分线， P是AD上异于 A点的任意一点，试比较 PB+PC与 AB+AC 的大小，并说明理由。(2) 如图d，AD中厶BAC的内角平分线，其他条件不变，试比较PC-PB与AC-AB的大小，并说明理由。例4如图，已知等腰直角厶 ABC中，/ A=90 ,AB=AC, BD平分/ ABC CE! BD,垂足为点 E,求证：BD=
4、2CE例5(1)如图a，BDCE分别是ABC的外角平分线，过点A作AD!BDAE!CE,垂足分别为 D、E,连接DE1求证 DE/ BC, DE=(AB BC AC)；2(2) 如图b, BD CE分别是 ABC的内角平分线，其他条件不变；(3) 如图c, BDABC的内角平分线，ABC的外角平分线，其他条件不变，则在图b,图c两种情况下，DE与BC还平行吗？它与 ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，并对 其中的一种情况进行证明。变式练习：如图，在 ABC中，AB=3AC / BAC的平分线交 BC于点D,过点B作BE AD,垂足为 E,求证：AD=DE例6如图a, AB=AC BD
5、 CD分别平分/ ABC / ACB问：(1 )图a中有几个等腰三角形？(2) 过点D点作EF/ BC,如图b，交AB于点E,交AC于点F,图中又增加了几个等腰三角形？(3) 如图c,若将题中的 ABC改为不等边三角形，其他条件不变，图中有几个等腰三角形？直接写出线段EF 与BE、CF有什么关系？(4) 如图d,BD平分/ ABC CD平分外角/ ACG DE/ BC交AB于点E,交AC于点F,线段EF与BE、CF有什么关 系？并说明理由。(5) 如图e, BD CD为外角/ CBM / BCN的平分线，DE/ BC交AB延长线于点 E,交AC延长线于点 F,直接写 出线段EF与BE、CF有什
6、么关系？例7如图，已知在厶 ABC中，AC=BC / C=90 ,AD平分/ CAB求证：AB=AC+CD变式练习：1、已知 ABC中，AC=AC/ A=108 ,BD 平分/ ABC,求证：BC=AB+CD3C2、已知 ABC中，AC=A(CZ A=100 ,BD 平分/ ABC 求证：BC=BD+AD例8如图a, OP是/ MOh的平分线，请你利用该图形画一对以0P所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考上图构造全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图 在厶ABC中，/ ACB是直角，/ B=60 ,AD、CE分别是/ BAC / BCA的平分线，AD CE相交于点F, 请你判断写出FE与
7、FD之间的数量关系；（2）如图5在厶ABC中，/ ACB不是直角，而（1）中的其他条件不变，请问，你在（1）中所得出结论是否依然成立？若成立请证明，若不成立，请说明理由。If.V牛刀小试1、( 1)如图玄，在厶ABC中，/ ABC与/ ACB的角平分线相交于点 F,过点F作DE/ BC,交AB于点D,交AC 于点E,若BD+CE=9则线段DE之长为。(2)如图 在厶ABC中，BD、CD分别平分/ ABC和/ACB, DE/ AB, FD/ AC,如果 BC=6,求厶DEF的周长。12、已知：/ BAD=Z CAD, ABAC, CD 丄 AD 于点 D, H 是 BC 的中点。求证： DH (
8、AB AC)。23、已知：四边形 ABCD中，/ B+Z D=180 ,BC=CD 求证：AC平分/ BAD。4、 ABC的外角Z ACD的平分线 CP与内角Z ABC的平分线 BP交于点P,连接 AP、CP,若Z BPC=40 ,求Z CAP 的度数。5、在四边形中， BCAB AD=CD, BD 平分/ ABC,求证：/ A+Z C=180。6、如图a, BP平分Z MBN，点D在射线 BP上，Z ADC的两边分别交射线 BM、BN于A、C两点，且Z ADC+Z MBN=180 。(1) 猜想AD与DC之间的数量关系，直接写出你的结论。(2) 图b是Z ADC绕点D旋转一定角度得到的，(1
9、)中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理 由。ab7、( 1)如图a,在RtA ABC中，Z C=90 ,Z B=45, AD是厶ABC的角平分线，则 AC、CD、AB三条线段之间 的数量关系为。(2)如图 b,若将(1)中条件“在 RtA ABC 中，Z C=90 , Z B=45 ”改为“在 ABC中，Z C=2/ B” 请问(1) 中的结论是否仍然成立？证明你的猜想。8、在平行四边形 ABCD中，/ BAD的平分线交直线 BC于点E,交直线DC于点F。(1) 在图a中证明CE=CF(2) 若/ ABC=90 ,G是EF的中点(如图b),直接写出/ BDG的度数；(3) 若/
10、ABC=120, FG/ CE FG=CE 分别连接 DB、DG (如图 c)，求/ BDG 的度数。9、已知，在 ODC中，/ D=90, EC是/ DCO的角平分线，且 0E丄CE过点E作EF丄OC交0C于点F,猜想: 线段EF与0D之间的数量关系，并证明。10、在四边形 ABDE中，C是BD边的中点。(1) 如图a,若AC平分/ BAE,/ ACE=90,则线段AE、AB、DE的长度满足的数量关系为 ;(直 接写出答案)(2) 如图b, AC平分/ BAE, EC平分/ AED,若/ ACE=120,则线段 AB BD DE、AE的长度满足怎样的数量 关系？写出结论并证明；(3) 如图c, BD=8, AB=2, DE=8,/ ACE=135，则线段AE长度的最大值是 。(直接写出答案)abc
