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1、解析几何中定值与定点问题【探究问题解决的技巧、方法】(1) 定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关在这类试题中选择消元的方向是非常关键的.(2) 解圆锥曲线中的定点、定值问题也可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.【实例探究】题型1 ：定值问题： = X3例1:已知椭圆C的中心在原点，焦点在 x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 - 的焦点，离心率等于(I)求椭圆 C的标准方程；(H)过椭圆 C的右焦点作直线I交椭圆C于A B两点，交y轴于M点，若MA -兔丹化MB二BF，求证召+為为定值二+= 1(畳
2、、色、0)解：(I)设椭圆C的方程为一、 一，则由题意知b = 1.椭圆C的方程为二(II )方法一：设A、B、M点的坐标分别为 丄IJ 易知F点的坐标为(2, 0).-屛AF(心必几)=禺(2和乃),.-斑二1 + 41+右将A点坐标代入到椭圆方程中，得1-去分母整理得 +_ |：同理由厢=兔辭得:彳+5-坍=a.无忌是方程H +10jc+5- 5元=啲两个根,.a】十厶=10方法二：设 A、B、M点的坐标分别为-.J - - - 1 . ：1又易知F点的坐标为（2, 0）.显然直线I存在的斜率，设直线I的斜率为k,则直线I的方程是|： -：,将直线I的方程代入到椭圆 C的方程中，消去y并整
3、理得(l + 5*2)x2-2C)Jt3x4 20t2 - 5 = 0.+ 衍=E% =31十L a2姑-51十 5F Pg十心)-2工的4 - 2(珂 + xj +无T MA =召亦.莎=拓莎，将各点坐标代入得给 又= = 10.例2已知椭圆C经过点A（1,3/2）,两个焦点为（-1,0）,（1,0）.1）求椭圆方程2） E、F是椭圆上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明：直线 EF的斜率为定值，并求出这个定值（1）a2-b2=c2 =1设椭圆方程为 x2/（ b2+1）+y2/b2=1将（1，3/2）代入整理得 4bM-9b2-9=0解得b2=3 （另一值舍）所以椭圆
4、方程为x2/4+y2/3=1（2）设AE斜率为k则 AE 方程为 y-（3/2）=k（x-1）x2/4+y2/3=1，联立得出两个解一个是A（ 1,3/2 ）另一个是E（ x1，y1）代入消去 y 得（1/4+k2/3）x2-（ 2k2/3-k）x+k2/3-k-1/4=0根据韦达定理x1 = （ k2/3-k-1/4 ） / （1/4+k2/3将的结果代入式得y1= （-k2/2-k/2+3/8 ） /（1/4+k2 /3）设 AF 斜率为-k，F (x2，y2) 则 AF 方程为 y- (3/2 ) =-k (x-1 x2/4+y2/3=1 联立同样解得x2= ( k2/3+k-1/4 )
5、 / (1/4+k2/3)y2= (-k2/2+k/2+3/8 ) / (1/4+k2/3)EF斜率为(y2-y1 ) /(x2-x1)=1/2所以直线EF斜率为定值，这个定值是1/2。22広例3、已知椭圆x2 y21(a b 0)的离心率为-，且过点(.21).a2b23(I)求椭圆的方程；(n)若过点 C (-1, 0)且斜率为k的直线I与椭圆相交于不同的两点A, B，试问在x轴上是否存在点M，使MIA MB 5是与k无关的常数？若存在，求出点M的坐标；若3k2 1不存在，请说明理由解：(1 )T椭圆离心率为三6 , -6 ,工 -.3 a 3 a23又Q椭圆过点(血,1)，代入椭圆方程，
6、得$厶1.a2 b2所以a25,b253 22椭圆方程为xy 1，即 x2 3y25.53(2)在x轴上存在点 M(】0)，使MA1 MB* 5是与K无关的常数.63k2 1证明：假设在x轴上存在点M (m,0),使MA1 MBI 一5一是与k无关的常数,3k2 1直线L过点C (-1, 0)且斜率为K, L方程为y k(x 1),2c2由X3y5,得(3k21)x2 6k2x3k250.yk(x1),6k23k25设 A(x1, y1),B(X2, y2),则 X1X2,X1X223k13k 1ULUCILULU MAm,y)MB(X2 m,y2),uuuuUUUL55- MAMB小2区m)
7、(X2 m) y！23k 13k125=x-i m x2 m k x-i 1 x2 1 厂 3k 12, 212,25=1 k x1x2k m x1 x2m k23k21k23k 1.26k 2. 2k m 2 m k 3k 153k2 1,2,2小222_ k 6mk 3m k m=3k21设常数为t,则 6mk3m2k2亦 t.3k2 123m 6m 1 3t2m t 0.解得1 m -60,M（ 6,0），即在x轴上存在点iuur ujiD5,使MA MB启是与K无关的常数整理得(3m2 6m 1 3t)k 2 m2 t 0对任意的k恒成立,题型2:定点问题2例4.已知椭圆C:y71 （
8、a b 0）的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等腰直b角三角形，直线 x-y+b=0是抛物线y2=4x的一条切线。（1 ）求椭圆的方程；（2）过点S（ 0，-1/3 ）的动直线L交椭圆C于A,B两点，试问：在坐标平面上是否存 在一个定点T,使得以AB为直径的圆恒过点 T?若存在，求出点 T的坐标；若不存在，请 说明理由。執 由1卩牡 需疋+（甜_4）兀十F =id当直切与x轴平行时.的厨方程为+b+当直线I与y轴童&吋”臥AB为直径的园方程为亦亠* 7, 所以两圈的切慮为点（0, 1） *Si*（0, 1,证明SffFe .兰肯线i与耳轴不垂直巧 可设亶线1为;G8e+9)r -12 -15
9、=0.12kliF+91G曙心Q陀则I e曲+9 4弘饥护一扣w罟“仙总茄-+兰“3 lSkJ+9 9所臥石一朮，眾次.AB力直住的过直(0, 1)所以廷衽一卜罡更匚使得以AB*MW求出此时厶ABG的外接圆方程；若不能,+a =1例5.在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆 C: $，如图所示，斜率为 k (k 0)且不过原点的直线I交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E,射线OE交椭圆C 于点G,交直线x=-3 于点D (-3 , m )(I)求m 2+k 2的最小值；(n)若 |OG| 2=|OD|-|OE|,(i) 求证：直线I过定点；(ii) 试问点 B, G能否关于x轴对称？若能请说
10、明理由。解：(I)由题意：设直线 I: y=kx+ n(n 丸),= itx十旳斗+ 3，消y得:,AB 的中点 E-，l ；l：6ht则由韦达定理得:p - 2所以 m 2+k 2=，当且仅当k=1时取等号,即存，兀存如心塚，(3hi n 所以中点E的坐标为e1十？Fl十3t2,因为0、E、D三点在同一直线上，所以koE=k OD ,1 m=，解得3k 3即m2+k 2的最小值为2。y =x(H) (i)证明：由题意知：n 0，因为直线0D的方程为13V =- X3邑+宀11 311 ? 所以由得交点G的纵坐标为+3又因为，且 |0G|2=|0D| |0E|，mn所以=处,rn +31十釆1
11、m = k，所以解得k=n ,?又由(I)知:所以直线I的方程为I: y=kx+k，即有I: y=k (x+1 ), 令x=-1得，y=0，与实数k无关，所以直线I过定点(-1 , 0);(ii)假设点B, G关于x轴对称，则有 ABG的外接圆的圆心在 x轴上,又在线段AB的中垂线上，由(i)知点 G所以点B(偏+弓 又因为直线I过定点(-1 , 0),4 +31m = 2r又因为k，所以解得m = 1或6,所以直线I的斜率为又因为J 二+1，所以m2=6舍去，即m2=1 ,此时 k=1 , m=1 , EAB的中垂线为 2x+2y+1=0,圆心坐标为圆的方程为综上所述，点B, G关于x轴对称
12、，此时 ABG的外接圆的方程为21 椭圆c :笃a【针对练习】1 (a b 0)的左、右焦点分别是 FF?,离心率为 丄3 ,过F1且垂直b2于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.(I)求椭圆C的方程； (n )点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点 ,连接PF1,PF2,设 F,PF2的角平分线PM交C的长轴于点M (m,0),求m的取值范围；(川)在(n)的条件下,过P点作斜率为k的直线l,使得I与椭圆C有且只有一个公共点,设直线PF1, PF2的斜率分别为k1, k2,若k10,试证明血丄为定值,并求出这个定值kk22、如图，S(1,1)是抛物线为y2 2px(p 0)上的一点,以S为圆心，
13、r为半径(1 r 2做圆，分别交x轴于A, B两点，连结并延长 SA、SB,分别交抛物线于(I )求证：直线CD的斜率为定值;(n)延长DC交x轴负半轴于点E ,若EC :ED = 1 : 3 ,sin 2 CSD cosCSD的值。2x3、已知椭圆C:二a每 1( a b 0)的离心率为丄,点(1,-)在椭圆C上. b222求C、(I )求椭圆C的方程；(n )若椭圆C的两条切线交于点M(4,t),其中t R,切点分别是 A、B,试利用结论：在椭圆2 2笃当1上的点(X,y)处的椭圆切线方程是答餐1,证明直线AB恒过椭圆的右abab焦占f ;2 j(川)在( n)的前提下，试探究IAF2 | | BF2 |的值是否恒为常数，若是,求出此常数；若不是
