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1、北师大版九年级数学知第一章特殊平行四边形一、平行四边形1、定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。2、性质：（1）平行四边形的对边平行且相等。（2）平行四边形的对角相等，邻角互补。（3）平行四边形的对角线互相平分，两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的三角形。（4）平行四边形是中心对称图形。3、判定：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形。4、面积：S平行四边形=底乂冋二、菱形1、定义：有一组邻边相等的平行四边
2、形是菱形。2、性质：（1）菱形具有平行四边形的所有性质。（2）菱形的四条边都相等。（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形。（4）菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形（两条）。3、判定：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形。（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。（3）四条边都相等的四边形是菱形。4、面积：S菱形=底乂高；S菱形=对角线乘积的一半菱形菱形三、矩形1、定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。2、性质：（1）矩形具有平行四边形的所有性质。（2）矩形的四个角都是直角。（3）矩形的对角线相等且互相平分，两条对角线把矩形分成
3、四个面积相等的等腰三角形。（4）推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。（5）矩形既是中心对称图形，又是轴对称图形（两条）。3、判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。（2）对角线相等的平行四边形是矩形。（3）有三个角是直角的四边形是矩形。4、面积：S矩形=底乂高四、正方形1、定义：有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形是正方形。2、性质：（1）正方形具有菱形和矩形的所有性质。（2）正方形的四条边都相等，四个角都是直角。（3）正方形的对角线互相垂直平分且相等，两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。（4）正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形（四条）。3、判定：（1）有
4、一组邻边相等的矩形是正方形。（2）对角线互相垂直的矩形是正方形。正方形=菱形+矩形（3）有一个角是直角的菱形是正方形。（4）对角线相等的菱形是正方形。4、面积：S正方形=边长的平方；S正方形=对角线乘积的一半五、中点四边形1、定义：以四边形四条边的中点为顶点组成的四边形2、中点四边形：一般四边形-平行四边形；平行四边形-平行四边形；菱形-矩形；矩形-菱形；正方形-正方形。第二章一元二次方程一、定乂：我们把形如ax2bxc=o(a,b,c为常数，a,o)的方程，称为一元二次方程。其中ax2,bx,c分别称为二次项，一次项和常数项,a,b分别称为二次项系数和一次项系数。二、解一元二次方程的方法1、
5、配方法：移项-二次项系数化为1-配方(方程两边同时加上一次项系数一半的平方)-开平方(有正负两个结果)-求解-写根。2、公式法：化为一般形式(ax2+bx+c二o)-找出a,b,c(记得带上符号)-代入根的判别式b+丸tb24ac(b24ac)代入求根公式x=(b24ac0)-求解-写根。2a3、因式分解法：当一元二次方程的一边为0，另一边易于分解成两个一次因式的乘积时可用因式分解法(1) 提公因式法：acbc=0-c(a+b)=0(2)公式法：平方差公式：a2b2=(ab)(ab)完全平方公式：a2+2abb2=(a+b)2(3)十字相乘法：x2(pq)xpq=(xp)(xq)三、一元二次方
6、程根的判别式：对于一元二次方程ax2bxc=o(a,o)(1)当b24ac0时，方程有两个不相等的实数根。(2) 当b24ac=0时，方程有两个相等的实数根。(3) 当b24ac0时，方程没有实数根。四、一元二次方程根与系数之间的关系(韦达定理)如果方程ax2bxc=o(a,o)有两个实数根x1五、应用一元二次方程(1、几何面积问题；2、销售问题)审题-寻找数量关系和等量关系-设未知数(直接假设和间接假设)-列一元二次方程-解方程-检验-作答。第三章概率的进一步认识一、列表法和化树状图法1、列表法：当一次实验涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用
7、列表法。2、画树状图法：当一次实验涉及3个或更多因素时，列表就不方便，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用画树状图法。二频率估计概率：一般的，在大量重复实验时，如果事件A发成的频率m稳定于某个常数P，那么事件A发生的概率P（A）=P第四章图形的相似一、成比例线段1、定义：四条线段a,b,c,d中，如果a与b的比等于c与d的比，即-=，那么这四条线段a,b,c,d叫bd做成比例线段，简称比例线段。2、性质：（1）基本性质：如果-，那么adbc；bd如果adbc(a,b,c,d都不等于0,，那f么a=bd等比性质：如果ad合比性质：如果b幕，那么宁晋二、平行线分线段成比例1、定理：两条直线被
8、一组平行线所截，所得的对应线段成比例2、推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例三、相似多边形1、定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比2、性质：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方四、相似三角形1、定义：三角分别相等，三边成比例的两个三角形叫做相似三角形2、判定：（1）两角分别相等的两个三角形相似（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（3）三边成比例的两个三角形相似3、性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例（2）相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比3）相似三角形
9、的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方五、黄金分割：点C把线段AB分成两条线段AC和BCAC,BC），如果AC二BC，那么称线段ABACAB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比，A*B即AC:AB0.618:1（六、位似图形1、定义：一般的，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P,P所在的直线都经过同一点O，且有OP=kOP（k丰0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心2、性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比3、画图步骤：（1）尺规作图法：确定位似中心；确定原图形中的关键点关于中心的对应点；描出新图形（2）坐标法：在
10、平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘于同一个数k（k丰0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为内第五章投影与视图一、投影：物体在光线的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象，影子所在的平面叫做投影面1、中心投影：由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影。如物体在灯泡发出的光照射下形成的影子就是中心投影2、平行投影：由平行光线形成的投影叫做平行投影。如物体在太阳光的照射下形成的影子（简称日影）就是平行投影。若平行光线与投影面垂直，则这种投影称为正投影二、三视图1、视图：用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的
11、视图2、三视图概念：（1）主视图：从正面得到的视图叫做主视图，反映物体的长和高（2）左视图：从左面得到的视图叫做左视图，反映物体的长和宽（3）俯视图：从上面得到的视图叫做俯视图，反映物体的高和宽3、三视图特点：（1）主视图和俯视图的长对正（2）主视图和左视图的高平齐3）左视图和俯视图的宽相等第六章反比例函数一、定义：一般的，形如y,kk为常数，kHo）的函数，叫做反比例函数。其中X是自变量，y是函数。x自变量x的取值范围是不等于0的一切实数XX二、表达式：1、y,kx三、图象与性质2、y，kx1；3、xy，kXX1、图象：由两条曲线组成（双曲线）2、性质：函数k图象k0ky,x（k为常数，k丰
12、0）k0所在象限第一、三象限（x,y同号）增减性在同一象限内，y随x的增大而减小第二、四象限（x,y异号）在同一象限内，y随x的增大而增大XXk越大，函数图象越远离坐标原点3、反比例函数比例系数k的几何意义如图，在反比例函数y，k上任取一点P（x,y），过这一点分别作x轴，y轴x的垂线PE，PF与坐标轴围成的矩形PEOF的面积S，xy，k4、对称性：（1）中心对称，对称中心是坐标原点（2）轴对称：对称轴为直线y，x和直线y，-xX第七章直角三角形的边角关系一、锐角三角函数在RtABC中,C二90o,则,A的三角函数为B定义表达式取值范围关系正弦.人ZA的对边sinA=斜边sinA=-c0sin
13、A1（ZA为锐角）sinA=cosBcosA=sinBsin2Acos2A=1余弦人,A的邻边cosA=斜边cosA=c0cosA1（ZA为锐角）正切人，A的对边f0（ZA为锐角）人1tanA=tanBLtlll上丄丄、，A的邻边邻边二、特殊角的三角函数值三角函数304560sin1亜五222cos卫旦1222tan1三、解直角三角形1、直角三角形的边角关系：(1)两锐角关系：厶，B=90。(2)三边关系：a2b2=c2(勾股定理)ab(3)边角关系：sinA二cosB=_,cosA=sinB=ccabtanA=,tanB=ba2、解直角三角形的类型和解法已知条件图形解法已知一直角边和一个锐角
14、(a,A)斜边CA邻边B对边C,B=90-,A,c=-,b=-Wb=Jc2一a2丿sinAtanA已知斜边和一个锐角(c,厶),B=90-,A,a=csinA,b=ccosA或b=Jc2-a2丿已知两直角边(a,b)c=Ja2+b2,由tanA=求,A,B=90-,Ab已知斜边和一条直角边(c,a)b=Jc2一a2,由sinA=求,A,B=90一,Ac第八章二次函数一、概念：一般的，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y，ax2+bx+ca,b,c是常数,ao)的形式，则称y是x的二欠函数，其中，x是自变量，a,b,c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项二、二次函数图象及其性质1、图像与性质函数
