《2020年高考数学一轮总复习 三角函数、三角形、平面向量 专题07 三角化简的技巧与方法 文（含解析）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年高考数学一轮总复习 三角函数、三角形、平面向量 专题07 三角化简的技巧与方法 文（含解析）（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题07 三角化简的技巧与方法一、本专题要特别小心：1.角的范围问题2. 角的一致性问题3. 三角化简形式、名称、角的一致原则4.角成倍角的余弦之积问题 5.“1”的妙用6.辅助角的替换作用7. 角的范围对函数性质的影响8. 用已知角表示未知角问题二方法总结：1.三角函数的求值主要有三种类型，即给角求值、给值求值、给值求角.2.三角函数式的证明应从消去等式两端的差异去思考，或“从左证到右”或“从右证到左”或“从两边到中间”去具体操作.3.证明三角函数式恒等式，首先观察条件与结论的差异，从解决差异入手，确定从结论开始，通过变换将已知表达式代入得出结论，或变换已知条件得出结论，常用消去法等.三【题
2、型方法】（一）用已知角表示未知角1（2018年全国卷II文）已知，则_【答案】.【解析】：，解方程得.练习1已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P（）（）求sin（+）的值；（）若角满足sin（+）=，求cos的值【答案】（）；（） 或 .【解析】（）由角的终边过点得，所以.（）由角的终边过点得，由得.由得，所以或.点睛：三角函数求值的两种类型：(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；变换待求式，便于将已知
3、式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.练习2已知为锐角，（1）求的值；（2）求的值【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，所以因为，所以，因此，（2）因为为锐角，所以又因为，所以，因此因为，所以，因此，点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.练习3已知的内角满
4、足，则的最大值为_【答案】【解析】 的内角满足，且，即 为钝角， ，又， ，即 ，当且仅当时，取等号，故的最大值为 ，故答案为.（二）“1”的变通例2. 已知f(x)sin2x2sinsin.(1)若tan 2，求f()的值；(2)若x，求f(x)的取值范围.【答案】（1） ； （2）.【解析】(1)f(x)(sin2xsin xcosx)2sincossin 2xsin (sin 2xcos 2x)cos 2x (sin 2xcos 2x).由tan 2，得sin 2.cos 2.所以f() (sin 2cos 2).(2)由(1)得f(x) (sin 2xcos 2x)sin.由x，得2x
5、.sin1，0f(x)，所以f(x)的取值范围是.练习1. 已知，则（ ）ABCD【答案】B【解析】，故选B。（三）降幂公式的灵活应用例3. 已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）求函数在上的零点.【答案】（1）； （2）.【解析】（1） 令，得，函数的单调递增区间为.（2）由，得：.，即函数在上的零点是.练习1.cos475-sin475的值为（）ABCD【答案】A【解析】由题意，可知故选：A练习2. 已知f(x)= sin(x+ )cos(x+ )+ (x+ )- (|),若f(0)= ,a=f(),b=f(），c=f（），则（ ）Aacb Babc Ccab Dcba【答案】B【解
6、析】 由题意得， ，解得 ， 选B（四）特殊角的替换作用例4. （ ）ABCD【答案】D【解析】原式故选:D.练习1.A B C D1【答案】A【解析】由题意可得：.练习2.的值 【答案】1【解析】原式sin50sin502sin502sin501.（五）辅助角公式的灵活应用例5.，若不论取何值，对任意总是恒成立，则的取值范围是（ ）A B C D【答案】D【解析】，；对任意总是恒成立，即恒成立；等价于在恒成立，即对任意恒成立，设，故选D.点睛：本题主要考查了三角函数的性质，函数恒成立问题等函数的综合应用，难度较大；对于不论取何值，对任意总是恒成立，等价于，求三角函数的最大值需通过三角运算公式
7、将其化简为，最后利用分离参数的思想求参数的取值范围.练习1. 已知，则_【答案】【解析】由得：整理得： 本题正确结果：练习2. _【答案】32.【解析】因为所以故答案为：（六）与的关系例6. (1)已知，求的值；(2)已知，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）根据结合已知条件可知，只需求得的值即可，因此可以考虑将已知等式两边平方，得到，从而，再由可知，从而；（2）已知条件中给出了与的三角函数值，结合问题，考虑到，因此考虑采用两角和的正切公式进行求解，利用同角三角函数的基本关系，结合已知条件中给出的角的范围易得，进而求得.试题解析：（1）， 3分， 4分又，； 7分（2）且，
8、 9分，又， 11分. 练习1.若是三角形的最小内角，则函数的最小值是（ ）A B C D【答案】A【解析】试题分析：因为为三角形最小内角，所以，设，则，所以，当时，函数单调递减，所以当时，函数取得最小值，最小值为。练习2.已知（1）求的值；（2）若，求的值【答案】（1）；（2）.【解析】（1），即，；（2），又，则（七）角的一致性例7. 已知函数有且仅有一个零点.（1）求的值；（2）若，求的值.【答案】（1）. (2).【解析】（1）函数有且仅有一个零点等价于关于的方程有两个相等的实数根.所以，即整理得，即.（2）因为所以，解得，又，所以由（1）得，且，所以，所以由，知故.练习1. （1）化
9、简：（2）若、为锐角，且，求的值【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）根据诱导公式及同角三角函数关系式将其化简（2）根据、为锐角，且，可知，也为锐角根据同角三角函数关系式可求得的值由两角和差公式可求得试题解析：解：（1）（2）因为、为锐角，且，所以，（八）三角化简与数列综合例8. 已知数列前项和为，满足（为常数），且，设函数，记 ，则数列的前17项和为（）ABC11D17【答案】D【解析】因为，由，得，数列为等差数列；， .则数列的前17项和为.故选：D练习1. 设等差数列满足：，公差若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是A B C D【答案】D【解析】由，得，则，由
10、，对称轴方程为，由题意当且仅当时，数列的前n项和取得最大值，解得，首项的取值范围是.故选：D.练习2.设等差数列满足，公差，若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是_.【答案】【解析】,数列是等差数列，所以，所以有，而，所以，因此，对称轴为：，由题意可知：当且仅当时，数列的前项和取得最大值，所以，解得，因此首项的取值范围是.（九）向量与三角函数综合例9. 已知是锐角三角形的外接圆的圆心，且，若，则（ ）A B C D不能确定【答案】A【解析】设外接圆半径为，则,可化为，可知与的夹角为，与的夹角为，与的夹角为，对与左右分别与作数量积，可得：，即，即，且，故选A. 练习1. 如图，
11、已知是半径为，圆心角为的扇形，是该扇形弧上的动点，是扇形的内接矩形，其中在线段上，在线段上，记为,（1）若的周长为，求的值；（2）求的最大值，并求此时值【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由条件利用直角三角形中的边角关系求出三角形的周长，利用三角函数的倍角公式进行化简进行求解；（2）结合向量的数量积公式，结合三角函数的带动下进行求解.试题解析：（1），由，得，平方得，即，解得（舍）或，则.（2）由，得，则,，当，即时，有最大值.（十）三角换元例10. 如果圆上任意一点都能使成立，那么实数的取值范围是()A B C D【答案】C【解析】设圆上任意一点的坐标为，即，即，即，又，得到，则，故选C.【方法点晴】本题主要考查圆的参数方程、利用辅助角公式求最值以及不等式恒成立问题，属于难题. 求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图像法、函数单调性法求解，利用三角函数法求最值，首先将参数换元，然后利用辅助角公式及三角函数的有界性求解即可.练习1. 在直角三角形中，若，动点满足，则的最小值是_【答案】【解析】建立如图所示的直角坐标系，由题意可得：，据此可得：，则：， ，其中，当时，取到最小值.练习2. 函数的值域是_【答案】【解析】由，得，可设，则，时取最大值），函数的值域为，故答案为. 1
