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1、平面向量题型二：平面向量的共 线问题题型二：平面向量的共线问题1、若 J(2, 3), B(x, 4),C(3,y),且石=2 疋，则沪, y=2、己知向量 a、b 9 且石=a+2b , bc =-5a+6b耀=7炉2馆则一定共线的三点是()AA、B、DBA、B、CCB、C、DD A、C、D3、如果Q2是平面么内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有()為+“02(入“ W R)可以表示平面么内的所 有向量； 对于平面么中的任一向量偽使=加1+“02 的入“有无数多对； 若向量久101+“102与22仑1+“202共线，则有且 只有一个实数心使久2仑1+“202=处久1勺+“1仑2)；
2、 若实数入“使加1 +“02=，贝!U=“=0ABC.D.仅4、若向量 a=(l)0= ( 1,-1) 9c=(-294) 9 则 c= ()A a+3bB 3a-bC a-3bD-3a+b5、已知A(2, -2),B(4, 3),向量p的坐标为(2k-l, 7)且p 五，则k的值为 ().r-i_ _92_ 1919A. - ioB. ioC. - ioD. ior r r6、已知a是以点A（3，T）为起点，且与向量b =（一3,4）平行的单位向量，则向量a的终点坐标是.r rr r7、给出下列命题：若| a | = | b I，则a = b ；若A , B , C, D是不共线的uuu u
3、urr r r r四点，则AB = DC是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；若a = b , b = c ,r r r rr r r rr r r r r r则a = c ；a = b的充要条件是|a | = |糾且a/b ；若a/b , b/c ,则a/c , 其中正确的序号是.8、r r平面向量a , b共线的充要条件是（）A.r rr ra, b方向相同B. a , b两向量中至少有一个为零向量r rr r rC.9、顶w R, b ad.存在不全为零的实数九i,2 ,ia + W = 0如图在三角形ABC中,AM： AB=1 ：3,AN： AC=1 : 4,BN与CM相交于点P,且
4、AB = a, AC = b，试用 a、b 表示 AP10、已知a, b是不共线的向量，曲=入a+b, AC=a+ub（入，UWR）,那么A,D.入 U = 1B, C三点共线的充要条件是（）.A.入+ 卩=2B.入一U=1 C.入 U = 111、在ABC中，已知D是AB边上一点，若AD DB 9CD = 1CA +后，则九=3(B) 13(D) 一 2312、设a、b是不共线的两个非零向量，mmuuauuu若OA二 2a-b，OB = 3a + b，OC =a_3b, 求证:a、B、C三点共线;（2）若8a+kb与ka+2b共线,求实数k的值.13、如图点G是三角形ABO的重心,PQ是过G
5、的分别交OA、0B于P、Q的一条 线段，且 OP = mOA, OQ = nOB, （ m、n e R ）+ - = 3求证 m n6、解：方法一：设向量a的终点坐标是(兀y)，则:=(x-3,y +1)，则题意可知4(x 3) + 3( y +1) 0.f 12X = 5，33,44,M、P、C三点共线，可设MP = XMC(Xe R)AP = AM + MP = 1 + 九 MC 于是3*r r1c MC = AC - AM = b -1312、解：证明：AB=(3a+b) (2ab)=a+2b.uuuumu而 BC = (a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=-2 AB，uuur uu
6、ruAB与BC共线,且有公共端点B,A、B、C三点共线. 8a+kb与ka+2b共线, 存在实数入使得 8a+kb=（ka+2b）计;（8-入 k）a+（k-2 入）b=0,.a与b是不共线的两个非零向量，”8入k=0,.*.v _今8=2 入 R 入=土2,k2入=0,Ak=2 入=土4.13、分析：本题是一道典型的平面几何证明，如果用平几方法则过程很复杂， 如果我们将题目中的已知条件作向量处理便能使证明过程简单得多。因为注意 到P、G、Q三点在一条直线上，所以我们可以考虑PQ与PG共线，于是可以用 共线定理得方程组求解。证明：设 oa=a, ob=b,则 OP = ma , OQ = nb1 _1 p P OD = (OA + OB) =(& + b), PG = OG OP = 1(p+ b) mp 3 OG = j OD = 1必 b)m)p(3 - m)b + 3 b，即 卩 PQ = OQ - OP = nb - m.又P、Q、G三点在同一直线上，则PG与PQ共线存在一个实数九使得PG=PQ(m)a + b = Xnb Xma(丄m + Xm)a + (丄Xn)b = 0 333 卩：33丄一 m +九m = 0a与b不共线，I1 11 = 3丁心=0 消去九得m + n
