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1、课时跟踪检测（十二） 距离的计算一、基本能力达标1已知平面的一个法向量n(2，2,1)，点A(2，1,0)在内，则P(1,3，2)到的距离为()A10B3C.D.解析：选C(1，4,2)，又平面的一个法向量为n(2，2,1)，所以P到的距离为.2正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为a，点M在上且，N为B1B的中点，则|为()A.a B.a C.a D.a解析：选A以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N.设M(x，y，z)点M在上且.(xa，y，z)(x，ay，az)，xa，y，z.于是M.| a.3.如图，PABCD是正四棱锥，ABCDA1B1C
2、1D1是正方体，其中AB2，PA，则B1到平面PAD的距离为()A6B.C. D.解析：选C以A1B1为x轴，A1D1为y轴，A1A为z轴建立空间直角坐标系，设平面PAD的法向量是n(x，y，z)，由题意知，B1(2,0,0)，A(0,0,2)，D(0,2,2)，P(1,1,4)(0,2,0)，(1,1,2)，n0，且n0.y0，xy2z0，取z1，得n(2,0,1)(2,0,2)，B1到平面PAD的距离d.4在长方体ABCDA1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离为()A.B.C.D.解析：选C如图，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(2,0
3、,0)，A1(2,0,4)，B1(2,2，4)，D1(0,0,4)(2,2,0)，(2,0，4)，(0,0,4)，设n(x，y，z)是平面AB1D1的一个法向量，则n，n，即令z1，则平面AB1D1的一个法向量为n(2，2,1)由在n上射影可得A1到平面AB1D1的距离为d.5如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，所有棱长均为1，则点B1到平面ABC1的距离为_解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A，B(0,1,0)，B1(0,1,1)，C1(0,0,1)，则，(0,1,0)，(0,1，1)，设平面ABC1的法向量为n(x，y,1)，则有，解得n，则d|.答案：6已知正
4、方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E，F，M，N分别是棱AD，AB，CD，BC的中点，则平面A1EF与平面B1NMD1的距离为_解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(1,0,0)，B1(1,1,0)，E，F，D1(0,0,0)，M，N.E，F，M，N分别是棱的中点，MNEF，A1EB1N.平面A1EF平面B1NMD1.平面A1EF与平面B1NMD1的距离即为A1到平面B1NMD1的距离设平面B1NMD1的法向量为n(x，y，z)，n0，且n0.即(x，y，z)(1,1,0)0，且(x，y，z)0.xy0，且xz0，令x2，则y2，z1.n(2，2,1)，n0.A1到平面B1NMD1
5、的距离为d|n0|.答案：7.如图，已知正方形ABCD，边长为1，过D作PD平面ABCD，且PD1，E，F分别是AB和BC的中点求直线AC到平面PEF的距离解：由题意知直线AC到平面PEF的距离即为点A到平面PEF的距离，以DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，P(0,0,1)，E，F，.设n(x，y，z)是平面PEF的一个法向量，则由得令x1，则y1，z，n.又(1,0,1)，d.8.如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB4，BC2，CC13，BE1.求点C到平面AEC1F的距离解：建立如图所示的空间直角坐标系，
6、则D(0,0,0)，B(2,4,0)，A(2,0,0)，C(0,4,0)，E(2,4,1)，C1(0,4,3)设n为平面AEC1F的法向量，显然n不垂直于平面ADF，故可设n(x，y,1)由得即n.又(0,0,3)C到平面AEC1F的距离为d.二、综合能力提升1已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，则点A1与对角线BC1所在的直线间的距离为()A.aBaC.a D.解析：选A建立如图所示的空间直角坐标系，则A1(a,0，a)，B(a，a,0)，C1(0，a，a)(0，a，a)，(a,0，a)|a，|a.点A1到BC1的距离d a.2已知PD正方形ABCD所在平面，PDAD1，则C到平面
7、PAB的距离d()A1 B. C. D.解析：选C以D为原点，以DA，DC，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,1)，(1,0,1)，(0,1,0)，(1,1,0)，设平面PAB的法向量为n(x，y，z)，即令x1，则z1，n(1,0,1)d.3.四棱锥PABCD中，四边形ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDDA2，F，E分别为AD，PC的中点(1)求证：DE平面PFB；(2)求点E到平面PFB的距离解：(1)证明：以D为原点， 建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0,0,2)，F(1,0,0)，
8、B(2,2,0)，E(0，1,1) (1,0,2)，(1,2,0)，(0,1,1)，平面PFB.又DE平面PFB，DE平面PFB.(2)DE平面PFB，点E到平面PFB的距离等于点D到平面PFB的距离设平面PFB的一个法向量n(x，y，z)，则令x2，得y1，z1.n(2，1,1)，又(1,0,0)，点D到平面PFB的距离d.点E到平面PFB的距离为.4.如图，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABCD，ADCD1，BAD120，ACB90.(1)求证：BC平面PAC；(2)若二面角DPCA的余弦值为，求点A到平面PBC的距离解：(1)证明：PA底面ABCD，BC平面ABCD，PABC，ACB90，BCAC，又PAACA，BC平面PAC.(2)设APh，取CD的中点E，则AECD，AEAB.又PA底面ABCD，PAAE，PAAB，故建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，P(0,0，h)，C，D，B(0,2,0)，(0,1,0)，设平面PDC的法向量n1(x1，y1，z1)，则即取x1h，n1.由(1)知平面PAC的一个法向量为，|cosn1，|，解得h，同理可求得平面PBC的一个法向量n2(3，2)，所以，点A到平面PBC的距离为d.- 1 -
