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1、1. 过点Mo(l ， 1 ，1)且垂直于平面x y z +1 = 0及2x + y + z +1 = 0的平面方程.39 - y - z + 2 = 03 -在平面x一y2z=0上找一点p，使它与点(2,1,5), (4,3,1)及(一2,-1,3)之间的距离相等7(|,1,|) 则prjCd5已知： A(1,2,3),B(5,1,7),C(1,1,1),D(3,3,2)，7设平面方程为xy = 0，则其位置(A平行于x轴 B平行于y轴C平行于z轴D过z轴8 平面x一2y + 7z + 3 = 0与平面3x + 5y + z一1 = 0的位置关系(C相交D 重合A 平行B 垂直x + 3 y
2、 + 4 z，亠ccc9 直线二y = =y = 3与平面4x 2y 2z 3 = 0的位置关系(A 平行B 垂直C 斜交D直线在平面内I y +1 = 010 设点A(0,-1,0)到直线L + 2z 7 = 0的距离为(A - v58 - B 9 - A 10 - A 3当 m=时，2i 3 j + 5k与3i + m j 2k互相垂直设 a = 2i + j + k ，b = i 2 j + 2k， c = 3i 4 j + 2kprj (a + b)=c4 过点(2,-&3)且垂直平面x + 2y 一3z一2 = 0直线方程为10 曲面方程为：x2 + y2 + 4z2二4，它是由曲线
3、.旋转而成的.19 x2 y+2 x34 ,Q =29912 3y210 曲线-厂+ z2 =1绕z轴旋转而成1 设 a = 2,3,l b = ,1,3 c = ,2,o，则(a x b) x c =()A - 8B 10C k1,1D 2,1,213若 a = 6i + 3 j 2k, / a,且 ”| = 14,贝 lb =()frF-F*F-*P-F-FA 土 (12i + 6 j 4k)B 土 (12i + 6 j)C 土 (12i 4k)D 土 (6 j 4k)4 若 M (1,1,1),M (2,2,1),M (2,1,2),则M M 与M M 的夹角申1231213兀兀C D
4、C 3D 46求平面 x y + 2 z 6 = 0与平面2x + y + z 5 = 0的夹角（I x + y z +1 = 0，则MO到l的距离为8 设点M (3,1,2),直线1仁.o“2 x y + z 4 = 03、亦 B丁3打Chx29直线一y3 z 4=上厂=与平面2x + y + z = 6夹角为(5ooarcsm63 - A 4 - C 6 - C 8 - A 9 - D7 求与平面2x 6y + 3z = 4平行平面，使点（3,2,动点到点（0,0,5）的距离等于它到x 轴的距离的曲面方程为 .曲面方程：16x2 9y2 9z2 = 25贝U曲面名称为）为这两个平面公垂线中
5、点3 确定k值，使三个平面：kx 3y + z = 2,3x + 2y + 4z = 1,x 8y 2z = 3通过同一条 直线f *fc- b-fr5 求以向量i + j, j + k,k + i为棱的平行六面体的体积5 与平面2x + y + 2z + 5 = 0，且与三个坐标面所构成的四面体体积为1的平面方程I z = 2 - x 2 - y 210 曲线在y z 面上的投影方程z = (x l)5 已知3 = 3,0,4），3 = ）,-2,-14），则两向量所成夹角的角平分线上的单位向 量为 c 0 = + (y l)21 设 a = i - 2 j + 3k ，b = 2i + j
6、 ，c = -i + j + k，贝U a + b与 c 是否平行1不平行7 2x + y + 2z = 233 ；8 x2 -10z = -25 ；2y2 + 2yz + z2 - 4y - 3z + 2 = 0 9 双叶双曲面； 10 门I x = 0练习题选参考答案1 两非零向量3 b垂直贝有3-3 = 0或Pr j a = 0 ；平行则有ax 3 = 0或a = X 33或两向量对应坐标成比例。2若 3 = 3 了 + 6 了 + 8 飞，b = 2则与3 ，x轴均垂直的向量3 =。，土5, 51 3 曲线J(x + 2)2 - z 2 = 4(x - 2)2 + y 2 = 4在 y
7、oz 面 上 的 投 影 曲 线 方 程 为 ：丫4 + z 2 = j4 y 2 + 4 W，投影柱面方程为：%4 + z2 =寸4- y2 + 4 x = 04 xoz面上的曲线x2 z2-=1分别绕x轴和z轴旋转所成旋转曲面方程为x2y2z2x2y2z2 =1 + = 14994496 以点 A (2,0,0)，B (0,3,0)，C (0,0,6)，D (2,3,8)为顶点的四面体的体积V= -(ABx AC) - AD =63 00 6 = 14。3 8二 计算1 求点P(3,6,-2)关于直线L: +0 40的对称点坐标。12 x - 2 y - z + 4 = 0k1 = i +
8、 2 j - 2k ，-11 j直线L的方向向量s = nxn = 011 22 - 2x = 1 +1 取直线上的定点(-1,1,0)，将其化为参数式:L = 1 + 2tz = -2t过点P与直线L垂直的平面为：(x-3) + 2(y-6)-2(z + 2) = 0，将直线的参数式代入垂面方程有t = 2，从而点P在直线L上的投影坐标(直线 与垂面的交点)为 (1,5,- 4)，设点P关于直线L的对称点坐标为(x, y, z)，则有：3 + x 6 + y 2 + z=1,= 5,_= -4，解之：x = -1, y = 4, z = -62 2 2x | 11 z2 设直线L过点M(-2
9、,3,1)且其与y轴相交，与直线Lj.-= =-垂直，厶JLJ求该直线方程。解：设L与y轴的交点为N (0, t,0)，其与直线L垂直，则MN- / = 0 n t = -1，从而由两点式有直线L的方程为：L:x -1 y z -13 求直线L: =上=-在平面兀：x- y + 2z-1 = 0上的投影直线方程。1 1 -1解：直线L与平面兀的交点为(2,1,0)，直线L上的点(1,0,1)在平面兀上的投影为（2，2，）则l在兀上的投影直线方程为：x-2_ y-1_ z4 求两平面兀：x + 2 y 一 2 z + 6二0，兀:4 x 一 y + 8 z 一 8二0戶斤成二面角的角平分12面方
10、程。解：法一，设P（x, y，z）为所求平面上任意一点，则由题意有：x + 2 y 2 z + 6：12 + 22 + (2)24 x y + 8 z 842 + (1)2 + 82消去绝对值得 3(2 + 2y 2z + 6) = (4x y + 8z 8)艮卩 7 x + 5 y + 2 z +10 = 0和x 一 7 y +14 z 一 26 = 0法二，所求平面过两平面兀与兀 的交线，故可设其方程为：124 x y + 8 z 8 + 九（x + 2 y 2 z + 6） = 03尢一4在该平面上任取一点，如令x = y = 0可得z =，九一 43九一4然后由点（0,0,）到两平面的
11、距离相等可解得九二3，从而得到所求平面方九一4程。5 设有直线片和L2的方程分别为：L :出=出1 0 1 8L21 2 121）证明 L1 与 L2 异面；2）求两直线之间的距离；3）求与两直线距离相等的平面方程；4）求与两直线都垂直相交的直线方程。解：直线L ，L2上分别有定点P （-2,2，-9），P2 （1，-6，-4），其方向向量 分别为 S = ）,1,8），/ = 6,2,12120 1(1)由于(5 xF) - PP = 121 2 1 23 - 8812 =-81丰0，所以两直线异面。5i(2)由于 / x / = 01 21j k1 8 = 4i + 8 j k2 12故过
12、L与L平行的平面方程为4x 8y + z 48 = 021贝两直线的距离转化为求点 P 到该平面的距离：d=94 x (2) 8 x 2 +1 x (9) 48”42 + (8)2 + 12113由题意，所求平面过线段P1P2的中点P（-22，R，其法向量为故所求平面方程为设P（x,y,z） 4x 8y + z 耳=0。52i044）设公垂线为 L ，其方向向量 s =s1xs =厶与七相交所成平面兀1的法向量s；x S =4i + 8 j k，贝U：=65i + 32j 4k ，兀 的方程为 65x + 32y 4z + 30 = 0 ，1兀与L的交点（即公垂线与L的交点）1 2 2Q(2.
13、4,8)L与L相交所成平面兀的法向量/xS =2 2 2兀 的方程为 98x + 47y 16z +120 = 0 ，2兀与L的交点（即公垂线与L的交点）2 1 1x + 2 y 4 z 7所以，公垂线方程为481k121P(2.4,7) ，=98i 47 j + 16k ，注：实际只需求一个交点即可，这里只是为了理解将两个交点都求出，这样亦可以得到（2）的另一解法。X 1 y 1 z5.求点P（2,1,5）在直线L: i = = 1上的投影.解：过P（2,1,5）作垂直于已知直线L的平面n，则其法向量n = （1,3,1），于是平面的方程为(x 2) + 3(y 1) (z 5) = 0 即 x + 3y z = 0.x = 1 +14将已知直线的参数方程 y =1 + 3t代入x + 3y z = 0 可得t = U 因此点P(2,1,5)在 z = t7 1 4 直线L上的投影即为平面n与直线L的交点（U，H,订）.12 x 3 y + z = 06.求直线L：*x y z 8 = 0在平面n：2x- y
