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1、帕斯卡与前n个自然数的平方和十七世纪的法国数学家帕斯卡(Pascal B.,利用和的立方公式，我们有(n+1) 3=n3 + 3n2+3n+1,移项可得(n+1) 3 -n3=3n2+3n+ 1,此式对于任何自然数 n都成立。依次把n=1,2, 3,，n- 1, n代入上式可得23 13=3?12+3?1+1,33 -23= 3?22+ 3?2+ 1 ,43 - 33= 3?32+ 3?3+ 1 ,n (n 1) 3 = 3 (n 1)3 (n 1) + 1,(n+1) 3 -n3=3n2+3n+ 1,把这n个等式的左边与右边对应相加，则n个等式的左边各项两两相消，最后只剩下( n+1) 3
2、1;而n个等式的右边各项，我们把它们按三列相加，提取公因数后，第一列出现我们所要计算的前n个自然数的平方和，第二列出现我们在上一段已经算过的前n个自然数的和，第三列是 n个1。因而我们得到/ 、3, 3n(n 1),(n+1) 1 = 3Sn + n,2现在这里Sn= 12+22+ n2。对这个结果进行恒等变形可得3 , c 23n(n 1),n + 3n + 3n= 3Sn+ + n,22n3+ 6n2+ 6n= 6&+ 3n2+ 3n+ 2n移项、合并同类项可得6Sn= 2n3+ 3n2+ n= n (n+1) (2n+1),. c 1，、， Sn = n (n+ 1) (2n+ 1),6
3、即12+ 22 + 32+ + n2= ； n (n+1) (2n+1)。这个方法把所要计算的前 n个自然数的平方和与已知的前n个自然数的和及其它一些已知量通过一个方程联系起来，然后解方程求出所希望得到的公式，确实是很妙的。前n个连续自然数的平方和公式的最新证明方法袁志红1关于前n个连续自然数的平万和：12 +22 +32+n2 = -n(n+1)(2n+1)的证明方法6很多，这里不再一一列举了 .为了让小学生掌握住这个公式，我现在用一种比较合适的方法， 方便孩子们理解和掌握，同时发现这个方法教学效果很好.我们先来计算：12 +22 +32=1 X 1+2X 2+3X 3,即1个1与2个2与3
4、个3的和。为此我们把这些数排列成下面等边三角形的形状的数表：1仅供个人参考 333把这个等边三角形数表顺时针旋转120度得到数表：332321再把数表顺时针旋转120度得到数表：323123观察、三个数表对应位置的数字，看看它们之间有什么规律？ 不难发现：最顶层的三个数字是：1、3、3;第二行左侧三个数字是：2、3、2;第二行右侧三个数字是：2、2、3;第三行最左侧三个数字是：3、3、1;第三行中间三个数字是：3、2、2;第三行最右侧三个数字是：3、1、3.通过简单地计算发现，上面每一组数字之和都是7.每个数表都是6个位置，所以三个数表数字之和：共 6个7,而这三个数表的数字都是一 样的（因为
5、都是旋转得到的，只是改变了位置关系，数字不变） ，所以每个数表数字之和 为：6X7+3.而数表中数字的个数可以这样计算： 第一行排1个数，第二行排2个数；第三行排3个数, 所以共排了： 1+2+3=6个数字。所以 12 +22 +32 =(1 +3 + 3)父(1+2+3) + 3= (1+2X3) X3X (3+1) +6;同理12 +22 +32 +n2也可以采用上面的方法推导出来：12 23 33 n n n nn n n n n n顺时针旋转120度，得到：nn n-1n n-1n-2n n-1n-2n-3n n-1n-2n-3 4321把数表再顺时针旋转120度，得到：nn-1 nn
6、-2n-1 nn-3n-2n-1 n三个数表对应位置数字之和都是：1+n+n=2n+1,每个数表共排数字：1+2+3+4+n=n(n+1)+2,所以三个数表数字之和：(2n+1) n(n+1) +2,所以每个数表数、一 1子之和：一 n(n 1)(2n 1).6即 12 22 32 - 3 n2 =ln(n 1)(2n 1).6请大家用相同的方法证明：1/ 八/1X2+2X 3+3X 4+nX(n+1)= 3n(n + 1)(n + 2).仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use only in study and research; not for comme
7、rcial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l etude et la recherche uniquementd des fins personnelles; pasd des fins commerciales.tojibko AJiajiioAe ak pTOpwenojib symaiflOidyHeHMia c ,n e a o b 团 hhha o ji k h eiHcnojib3OBaTbCH b MOMMepnecKHx uejiax.以下无正文
