排列与组合专题讲义

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1、排列与组合专题讲义一、知识梳理1排列与组合的概念名称定义排列从n个不同兀素中取出m(mWn) 个兀素按照一定的顺序排成一列组合合成一组2. 排列数与组合数(1) 排列数的定义：从n个不同元素中取出m(mWn)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取 出m个元素的排列数，用磚表示.(2) 组合数的定义：从n个不同元素中取出m(mWn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中 取出m个元素的组合数，用Cm表示.公式，八，、,，八n!(1) Am=n(n1)(n2)(nm + 1)=,、.、丿 n兴4 (n-m)!、Amn(n1)(n2)(nm +1)n!(2) Cn Amm !m

2、! (nm)!性质(3) 0 !=1； An=n!(4) Cm Cn m; Cm *Cm + C _1v 7 nnn+1 -nn 3排列数、组合数的公式及性质二、基题组一：思考辨析1. 判断下列结论是否正确(请在括号中打“厂或“X”)(1) 所有元素完全相同的两个排列为相同排列()(2) 一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序()(3) 两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同()(4) (n+1)!n!=nn!.()(5) 若组合式Cn = Cm，则x = m成立.()(6) kCn=nCn-|.( V )题组二：教材改编2. 6 把椅子摆成一排， 3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数

3、为()A. 144B.120C.72D.243. 用数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为()A. 8B.24C.48D.120题组三：易错自纠4六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有()A192 种B216 种C240 种D288 种5为发展国外孔子学院，教育部选派 6 名中文教师到泰国、马来西亚、缅甸任教中文，若每个国家至少 去一人，则不同的选派方案种数为()B240A180C540D6306.寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排力，B, C, D, E五个座位 (一排共五个座位 )，上车后五人在这

4、五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有 种(用数字作答)二、典型例题题型一：排列问题1某高三毕业班有40 人，同学之间两两彼此给对方写一条毕业留言，那么全班共写了条毕业留言(用数字作答)2用 1,2,3,4,5,6 组成一个无重复数字的六位数，要求三个奇数1,3,5 有且只有两个相邻，则不同的排法种 数为()A18B108C216D4323将7 个人(其中包括甲、乙、丙、丁4 人)排成一排，若甲不能在排头，乙不能在排尾，丙、丁两人必须 相邻，则不同的排法共有()A1 108 种B1 008 种C960 种D504 种思维升华：排列应用问题的分类与解法(1) 对于有限制条件的

5、排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊 元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法(2) 对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的 常用方法.题型二：组合问题典例 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货现从35种商品中选取3种(1) 其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2) 其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3) 恰有 2 种假货在内，不同的取法有多少种？(4) 至少有2 种假货在内，不同的取法有多少种？(5) 至多有2

6、种假货在内，不同的取法有多少种？ 思维升华：组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不 含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键 词的含义，谨防重复与漏解用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维， 用间接法处理跟踪训练 (1)在某校 2017年举办的第32 届秋季运动会上，甲、乙两位同学从四个不同的运动项目中各选 两个项目报名，则甲、乙两位同学所选的项目中至少有1 个不相同的选法种数为

7、()A30B36C60D72(2)若从1,2,3,，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A60 种B63 种C65 种D66 种题型三：排列与组合问题的综合应用 命题点 1：相邻、相间及特殊元素(位置)问题 典例 (1)在高三某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生， 2位男生，如果2位男生不 能连续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种数为(2)大数据时代出现了滴滴打车服务，二胎政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象普遍存在某城市关系 要好的A，B，C，D四个家庭各有两个孩子共8人，他们准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出 去游玩，每

8、车限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位置)，其中A家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘 坐甲车的 4个孩子恰有2个来自于同一个家庭的乘坐方式共有( )A. 18 种B. 24 种C. 36 种D. 48 种命题点 2：分组与分配问题典例 (1)国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分 到相应的地区任教.现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有种不同的分派方法.(2)有4名优秀学生A，B，C，D全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，则不同的保送 方案共有种.思维升华：(1)解排列、组合问题要遵循的两个原则 按元素(位

9、置)的性质进行分类； 按事情发生的过程进行分步.具体地说，解排列、组合问题常以元素(位置)为主体，即先满足特殊元素(位 置)，再考虑其他元素(位置)(2)分组、分配问题的求解策略对不同元素的分配问题a. 对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以Ann(n 为均分的组数)，避免重复计数b. 对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应 除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数.c. 对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全 排列数

10、.对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法跟踪训练 (1)安排 3 名志愿者完成4 项工作，每人至少完成1 项，每项工作由1 人完成，则不同的安排方 式共有()A. 12 种 B. 18种 C. 24 种 D. 36种(2)从6男2 女共8名学生中选出队长1 人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至 少有 1名女生，则共有种不同的选法. (用数字作答)(3) 把5件不同的产品摆成一排,若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有种.四、反馈练习1. 从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b,共可得到lg alg b的不同值的

11、个数是 ()A. 9B. 10C. 18D. 202. 一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()A. 3X3! B. 3X(3! )3 C. (3! )4 D. 9!3. 某小区有排成一排的7个车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为()A. 16B. 18C. 24D. 324. 互不相同的5盆菊花，其中2盆为白色， 2盆为黄色， 1盆为红色，先要摆成一排，要求红色菊花摆放在正中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，共有摆放方法()A. A5种B.种C. A4A2种D. C2C1A2A2种5. 有A, B,

12、C, D, E五位学生参加网页设计比赛，决出了第一到第五的名次.A, B两位学生去问成绩，老师对A说：你的名次不知道，但肯定没得第一名；又对B说：你是第三名.请你分析一下，这五位学生 的名次排列的种数为()A. 6B.18C. 20D.246. 用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中奇数的个数为()A. 24B.487. 若把英语单词“good”的字母顺序写错了，贝y可能出现的错误方法共有_种.(用数字作答)8在8 张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖将这8 张奖券分配给4 个人，每人2 张，不 同的获奖情况有种(用数字作答)9某医院拟派2名内科医生， 3名外科医生和3

13、名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村 进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生，外科医生和护士，贝不同的分配方案有种10用数字0,1,2,3,4组成的五位数中，中间三位数字各不相同，但首末两位数字相同的共有个11某次联欢会要安排3 个歌舞类节目， 2 个小品类节目和1 个相声类节目的演出顺序，贝同类节目不相 邻的排法种数是12.某宾馆安排A, B, C, D, E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A, B不能住同一房间， 137人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人， 其他人保持相对位置不变,贝不同的加入方法的种数为()A120B240C360D48014将标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个不同的盒子中,每个盒子至少有一个球,贝一共有种放法15在第二届乌镇互联网大会中,为了提高安保的级别同时又为了方便接待,现为其中的五个参会国的人 员安排酒店，这五个参会国的人员要在a, b, c三家酒店中任选一家，且这三家都至少有一个参会国的人 员入住,贝这样的安排方法共有( )A96 种B124 种C130 种D150 种