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1、第十二章 数 项 级 数（10 学时）1 级数的收敛性教学目的： 让学生掌握级数收敛和发散的概念以及收敛级数的性质 教学重点难点：级数收敛定义和柯西准则, 用收敛定义和柯西准则判断级数的敛散性 学时安排:2 学时教学方法： 讲授法教学过程：1级数概念在初等数学中，我们知道：任意有限个实数u , u，,u相加，其结果仍是一个实数，在本章将讨论一1 2 n 一无限多个实数相加一一级数一一所可能出现的情形及特征。如1 1 11+ + + 丁 +从直观上可知，其和为1。2 2 2 232 n又如，1 + （一1）+1 + （一1） +。其和无意义；若将其改写为：（1 一1） + （1 -1） + （1
2、 -1） +则其和为：0；若写为：1 + （一1） +1 + （-D +1 +则和为：1。（其结果完全不同）。问题：无限多个实数相加是否存在和；如果存在，和等于什么。定义1给定一个数列b ，将它的各项依次用加号“+”连接起来的表达式n1）u + u + u + + u + 1 2 3 n称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中u称为级数（1）的通项。n级数（1）简记为：无u，或工u。nnn=1称之为级数无u的第n个部分和，简称部分和。nn=12级数的收敛性!记 S = u = u + u + * + unk12nk=1定义2 若数项级数区u的部分和数列收敛于S （即limS = S ），则称数
3、项级 nnnn T8n=1收敛，称S为数项级数艺u的和，记作nn=1n =1S = u = u + u + u + + u + *。n 123nn=1若部分和数列& 发散，则称数项级数区u发散。nnn=1例1试讨论等比级数（几何级数）艺 aqn-i = a + aq + aq 2 HF aqn-i h , （a 丰 0）n =1的收敛性。解：见 P2。例2讨论级数1 1 1 1+ + + +1 - 2 2 - 3 3 - 4n（n +1）的收敛性。解：见 P2。3收敛级数的性质由于级数区u的敛散性是由它的部分和数列来确定的，因而也可以认为数项级数 艺u是数列nnnn=1n=1的另一表现形式。反
4、之，对于任意的数列b ，总可视其为数项级数 nnu = a + （a 一a ） + （a 一a ） + + （a 一a ） + n12132nn-1n=1的部分和数列，此时数列佥与级数a + （a 一a ） + （a 一a ） + + （a 一a ） +有n12132nn 一1相同的敛散性，因此，有定理12-1-1 （级数收敛的Cauchy准则）级数（1）收敛的充要条件是：任给正数，总存在正整数N，使 得当m N以及对任意的正整数p，都有u + um +1m + 2h+ um +p注：级数发散的充要条件是：存在某个 0 0，对任何正整数N，总存在正整数mo（ “），po，有推论u + umo+
5、1mo+2+F umo+po- 0。必要条件） 若级数（1）收敛，则lim u = o 。nnT8注：此条件只是必要的，并非充分的，如下面的例3。例3讨论调和级数1 111+ +2 3n的敛散性。1解：显然，有limu = lim = 0 ,但当令p = m时，有 n* n s n,111 1U + u + u + + u =+ + m+im+2m+32mm +1 m + 2 m + 32m1 1 1 11n +.+ =2m2m2m2m2因此，取二2，对任何正整数N,只要m N和p = m就有02u + um0+1m0+2+ um0+p0故调和级数发散。例4应用级数收敛的柯西准则证明级数 工丄
6、 收敛。n2证明：由于u + um +1m + 2+卜um +p1(m +1)21+ (m + 2)21+ (m + p)2111= 一 。 mum +1+ u + + um +2m + p1 。m 0，取N =-，使当m N及对任何正整数p，都有 故级数工丄收敛。n2定理12-1-2 若级数艺unn=1与艺v都有收敛,nn=1则对任意常数 c, d ，级数区(cu + dv )也收敛，且nnn=1艺(cu + dv )= 正 u+ d艺v。nnnnn =1n =1n =1即对于收敛级数来说，交换律和结合律成立。定理 12-1-3 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性(即级数的敛
7、散性与级数的有限个项无关，但其和是要改变的)。若级数艺u收敛，设其和为S,则级数u + u +也收敛，且其和为 nn+1n+2n=1R = S - S。并称为级数艺u的第n个余项(简称余项)，它代表用S代替S时所产生的误差。nnnnn=1定理 12-1-4 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。注意：从级数加括号后的收敛，不能推断加括号前的级数也收敛(即去括号法则不成立)。如：(1 1) + (1 1) + + (1 1) + =0 + 0 + + 0 + 收敛，而级数1 一 1 + 1 一 1 + 是发散的。课后记1、学生初次接触级数首先让学生知道级数主要是讨论无
8、限多个数相加问题的，对于u + u + u + + u + 0 + 0 + 0 + 1 2 3 n只是一种特殊情况。2、用收敛定义和柯西准则判断级数的敛散性是重点，讲清用收敛性定义证明级数收敛或发散主要是在用初 等的方法处理S的技巧，用柯西准则证明级数收敛或发散主要是放大u+ u + + u的技巧放nm +1m +2m + p大后使式子中不含P并能解出m “正数”效果较好.2 正 项 级 数教学目的： 让学生掌握判别正项级数敛散性的各种判别法 教学重点难点：比式判别法和根式判别法，判别法的灵活运用学时安排： 2学时教学方法： 讲授法教学过程： 正项级数收敛性的一般判别原则若数项级数各项的符号都
9、相同，则称它为同号级数对于同号级数，只 须研究各项都是由正数组成的级数称为正项级数如果级数的各项都是负数，则它乘以1 后就得到一 个正项级数，它们具有相同的敛散性一 正项级数收敛性的一般判别原则 若级数各项的符号都相同，则称为同号级数。而对于同号级数，只须研究各项都由正数组成的级数 正项级数。因负项级数同正项级数仅相差一个负号，而这并不影响其收敛性。定理12-2-1正项级数艺u收敛O部分和数列有界。nnn=1证明：由于对Vn , u 0，故是递增的，因此，有nn艺u收敛O收敛O有界。nnn(1)若级数区v收敛,nn =1则级数艺u也收敛;nn =1(2)若级数艺u发散,nn=1则级数艺v也发散
10、。nn =1n=1定理 12-2-2(比较原则)设艺u和区v均为正项级数，如果存在某个正数N,使得对nnn =1n =1Vn N 都有u w v ，nn证明：由定义及定理12-2-1即可得。例1 考察无的收敛性。n 2 一 n +1n =1解：由于当n 2时，有1 1 1 1w =Wn2 一 n +1 n2 一 n n(n -1)(n -1)2師1y1因正项级数V收敛，故乙收敛。（n 1）2n2 一 n +1n=2n=1推论（比较判别法的极限形式） 设u和nn=1艺u和艺v是两个正项级数，若nn =1ulim n = l,ns Vn则 （ 1）当0 l +a时，级数 区u、艺nn=1vnn =
11、1同时收敛或同时发散；2）级数艺u也收敛;nn =1当l = 0且级数V V收敛时,nn =1级数艺u也发散。nn=13）当I = +且V v发散时，nn =1证明:由比较原则即可得。例2 讨论级数 V的收敛性。2 n nV 1 V 1解：利用级数乙亍 的收敛性，由推论可知级数V收敛。2 n2 n n例3由级数V丄的发散性，可知级数Vsin1是发散的。nn二 比式判别法和根式判别法定理 12-2-3 （达朗贝尔判别法，或称比式判别法）设 工u 为正项级数，且存在某个正整数 n0及常数q e (0,1):若对力 化,u十1 q，则级数Vu收敛； unn若对力 N0,u V士 n1，则级数Vu发散
12、。 unu证明：（1）不妨设对一切n，有 q成立，于是，有unu2 q,u1u亠 q,，u2u1 q,。un-1uL qn1，uu2n 1 Uqn-1，由于，当q e （0,1）时，级数 qn-1收敛，由比较原则，可知级数乙u收敛。 nn=1（2） 因此时limu丰0，故级数工u发散。n* nn推论（比式判别法的极限形式）设工u为正项级数，且nulim n+i = q，ns un则（1）当q 1 （可为+ 8 ）时，级数工u发散;（3） 当q = 1时，级数工u可能收敛，也可能发散。如：工一，工nnn 2证明：由比式判别法和极限定义即可得。例4 讨论级数22 - 52 - 5 - 82 - 5 - 8-2 + 3(n -1)+ + + .+ + .11 51 5 91 5 9 1 + 4(n 1)的收敛性。例5讨论级数工nxn-1 （x 0）的收敛性。定理 12-2-4（柯西判别法，或称根式判别法）设 u 为正项级数，且存在某个正整n(1) 若对Vn N，有0(2) 若对Vn N，有0n；u l 1，贝9级数乙u收敛;nnnu、1，贝y级数工u发散。nn证明：由比较判别法即可得。推论（根式判别法的极限形式）设工u为正项级数，且nlim n：u = l，ns则（1）当l 1 （可为+ 8 ）时，级数工u发
