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1、43 多项式方法求特征值问题4.3.1F-L 方法求多项式系数我们知道，求 n 阶方阵 A 的特征值就 是求代数方程(431)A 0的根。称为A的特征多项式。上式展开为432)(P (九)Xn + p 九 + p 九 +p1 n-12 n - 2n其中ppp为多项式的系数。从理论上讲，求A的特征值可分为两 步：第一步 直接展开行列式| A一/1求出 多项式；第二步 求代数方程(x)0的根，即特 征值。对于低阶矩阵，这种方法是可行的。但对于高阶矩阵，计算量则很大，这种方 法是不适用的 。 这里我们介绍用 F-LFaddeev-Leverrier ) 方法求特征方程432)中多项式的系数。由于代数
2、方程 求根问题在第 2 章中已经介绍，所以本节 中解决特征值问题的关键是确定矩阵A的特征多项式，所以称这种方法为多项式方 法求特征值问题。记矩阵 A=(a ) 的对角线元素之和为ij nxn4.3.3)trA = a + a +. + a利用 递 归的 概念 定义 以 下 n个矩阵1122nnrB = A,1B = A(B - p I),2 11B = A(B - p I),3 22B = A(B - pI),kk -1k -1IB = A( B - pI),nn -1n -1p = trB11p = trB222p3=3 trB3p = trBk k kp = trB(4.3.4)n n n
3、可以证明,(4.3.4)式中 p ,k=1,2,.,n, 即是所求 A 的特征多项式的各系数。用()式求矩阵 的特征多项式系数的方法称为 F-L 方法。 相应特征方程为： SISe e寸e o e HP寸eVJ (9IM IM a (IdSTHW采 世眾肖同口ai(sm.3ooo 0Z Z E 0 s o H (； g)p H g 00 产心 e c r” qJH d I;寸-7 - Z eooc H U d EV H a 寸 e二e e寸e o e hh m寸e e九=&九=1,九=11 2 3111一2421714一84111A 1 = (B -pl)=p 2 23L 2从例21中的计算结
4、果可知33B =p Innb = p i.Faddeev曾经证明：对n阶矩阵A,按 (4.3.4)式计算出的总有 (4.3.7)4.3.2 特征向量求法A-ZI的秩小于矩阵a-ZI当矩阵 A 的特征向量确定以后,将这 些特征值逐个代入齐次线性程组(A冲)x=0 中,由于系数矩阵A n的秩小于矩阵AM的 阶数n,因此虽然有n个方程n个未知数, 但实际上是解有 n 个未知数的相互独立的 r个方程(rn)当矩阵A的所有特征值互 不相同时,这样的问题中要解的齐次方程 组中有 n-1 个独立方程,其中含有 n 个特征 向量分量,因此特征向量分量中至少有一 个需要任意假设其值 ,才能求出其他特征 分量在计
5、算机中解这样的齐次线性程组 ,可用高斯-若当消去法,以便把一组 n 个方 程简化为等价的一组n-1个方程的方程组. 然而,用高斯-若当消去法简化一个齐次线 性程组时,方程之间不都是独立的 ,在消去 过程中系数为零的情况较多 .必需交换方程中未知数的次序 ,以避免主元素位置上 为零的情况.因此,为了提高精度和避免零 元素的可能性 ,我们总是用主元素措施把 绝对值最大的系数放于主元素位置.例如，假设矩阵A为其特征方程为-42-2A=-532-2414-九 2-2-53-九 2-241-九=0展开后为故特征值分别労-2）（九-5）二 0下面求特征向薑I2将代入方程组（a-。中, 得3x + 2x -
6、 2x = 0123 5 x + 2 x + 2 x = 01232 x + 4 x + 0 x = 01234.3.8)以-5 为主元素 ,交换上式第一与第二个方程得5 x + 2 x + 2 x = 0123 3x + 2x 一 2x = 0123一 2 x + 4 x 一 0 x = 0(4.3.9) 1 2 3 用高斯-若当消去法消去-5 所在列中的,并 把主元素所在行调到最后,得22x 一 x 一 x = 0(4.3.10)15 25 3再以 16/5 为主元素,消去它所在列中的,并0 x + 0 x + 0 x = 0 123x + 0 x 一 x = 0 122 30 x + x
7、 一 x = 0124 3把主元素所在的行调到最后,得(4.3.11) 这就是用高斯若当消去法实现把一组三 个方程简化为等价的一组两个独立方程 的情形.因为这个等价的方程组包含两个 独立的方程,而有三个未知数，所以只要假 定其中一个值 ,则其它两个值就可以通过I=JU=i两个独立方程解出比如，令x 一，则得到矩 阵A的对应于入-1的一个特征向量为1_ 14_ 1与上述对入=1的推导过程相同.计算机中实现求解这样的齐次线性 方程组的消去步骤是,用第 3 章讨论过的 高斯-若当消去法的公式 ,方程组(4.3.9)的 系数矩阵经过第一次消去后的矩阵 B 为1616(4.3.12)454525以矩阵为
8、方程组 (4.3.10)的系数矩阵,其中 省略了有 0 和 1 元素的第一列.在进行第二次消元之前 ,要应用完全主元素措施对前两行进行最大主元素选 择,然后再进行必要的行或列交换 .每完成 一次消元过程,总省略只有0和1元素的第一列,并且计算机仅寻找矩阵的前n-k行中的最大主元素,其中 k 是消元过程应用的 次数.对(4.3.12)式再进行一次消元过程,则 得到列矩阵B1 =(4.3.13) 此矩阵是对应于方程组 (4.3.11)的系数矩 阵,不过省略了含 0 和 1 元素的前两列.一 般来说，最后矩阵列的数目等于矩阵A入I的 阶数和秩的差值.由于方程组 (4.3.8)有三个未知数 ,两 个独
9、立方程,所以计算机必须任意给定一 个未知数的值 ,以便可以从其他两个独立 方程中解出另外两个未知数.为方便，在计 算机决定特征向量时 ,要恰当地设定任意 选取的未知数的值例如，令x =_1，由方程组知道,其他两个分量的值正好3能从含的非 零系数项得出为此，从计算机所存储的最 终矩阵中,令最上面的 0 元素为-1,并把它 顺次调到最下面第三行的位置上 ,就得到在工程问题中,从特征方程所求出的 特征值,少数情形也有相同的.一般地,当一 个特征方程有k重根时，矩阵A亠的秩可能 比其阶数少1,或2,或3,或k,当然对应于 的线性无关的特征向量的个数也就是1,或 2咸3,或k,下面通过一个特征值对应两
10、个线性无关特征向量的例子进一步说明 计算机求特征向量的方法.设矩阵 A 为其特征方程为展开后得3 2 4A =2024 2 33-九242-九2=0423九所以特征值为(九 +1)2(九一8) = 0为了决定的特征向量:3蒋1代入方程组(a ”)X=0，得(4.3.14)424_x1212x2424x3九=0000_x1000x211/21x3应用一次高斯-若当消去法,得(4.3.15)00001/ 2 1写成矩阵形式,(4.3.15)式的系数矩阵为(4.3.16) 因为方程组 (4.3.15)的系数矩阵的秩为1,它比矩阵阶数少2,因此对应于有两个 线性无关的特征向量 ,必须给两个未知数 任意
11、规定值 ,才能确定这两个线性无关的 特征向量,由()式可看出,一般总是选择 x 一 1, x = 0求一个特征向量;选择x二0, x 一 1求另 一个特征向量 ;这样有两个线性无关的特 征向量1/2-1 _-100,-1计算机中求两个线性无关的特征向量的办法是,在(4.3.16)式的 B 中,把第一列 中第一个0元素用-1代替,第二列中第二个 0 元素也用-1 代替,然后把第一、第二行顺1/2丁k-1+ k01021次调到最下面一行的位置上，第三行自然 就成了第一行，如此调换后矩阵的第一列 和第二列就是所求的两个线性无关的特 征向量。对应于-的全部特征向量为 其中与是任意常数为了说明列交换的必
12、要性，避免主元素为零，再举一个例子，设矩阵A为其特征方程为-2 -81400-1241特征值为（九一2）九（九一1）二 0量2-4-8-12_x1124x200-1x3=0（4.3.17）用一次高斯-若当消去法，得九-2 7 - 0 九-1对应于的特征向量可由解下列方程组而求得0 0 1 _x10 0 -1x21 23x113=0(4.3.18) 若不进行列交换，则下一个消元过程只能 在第一行的第二个元素与第二行的第二 个元素中找最大主元素，而它们都是零， 我们不得不对(4.3.17)式进行列交换，即交 换未知数之间的次序，之后再进行消去过 程.对(4.3.17)式进行列交换，即把绝对值最大系
13、数放在主元素位置，显然是第一列与第三列的交换，交换后成为(4.3.19)-12-8-4_x3421x=02-100x1(4.3.20)000 _x3100x2=0011/2x11其中未知数列矩阵中与也进行了交换，这样才能保证(4.3.17)式与式等价，对式进行一次高斯-若当消去法，得0 - 2/3 -1/30 2/31/31 2/31/3再进行一次消去过程，得(4.3.21)在计算机中计算，剩下一个最终的列矩阵0B =01/2(4.3.22)01/2-1将(4.3.22)式中的列矩阵B中第一个0元素 用-1 代替，并随即调到最下面一行，便得 到4.3.23) 这就是对应于方程组(4.3.19)的解，在计算 机程序中应把原来进行列交换的列号次 序记住，重新把式中各分量排列一下，即 交换第一行和第三行的元素，就得到对应 于人2的特征向量-11/2对应于的全部的
