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1、课时作业16空间向量的正交分解及其坐标表示|基础巩固|(25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1设p：a，b，c是三个非零向量；q：a，b，c为空间的一个基底，则p是q的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析：当非零向量a，b，c不共面时，a，b，c可以当基底，否则不能当基底当a，b，c为基底时，一定有a，b，c为非零向量因此pD/q，qp.答案：B2已知A(1,2，1)关于平面xOy的对称点为B，而B关于x轴的对称点为C，则()A(0,4,2)B(0,4,0)C(0，4，2) D(2,0，2)解析：易知B(1,2,1)，C(1，2，1)，所以(
2、0，4，2)答案：C3已知a，b，c是空间的一个基底，则可以与向量pab，qab构成基底的向量是()A2a B2bC2a3b D2a5c解析：由于a，b，c是空间的一个基底，所以a，b，c不共面，在四个选项中，只有选项D与p，q不共面，因此，2a5c与p，q能构成基底，故选D.答案：D4已知空间四边形OABC，其对角线为AC，OB，M，N分别是OA，BC的中点，点G是MN的中点，则等于()A.B.()C.()D.解析：如图，()()()答案：B5已知点A在基底a，b，c下的坐标为(8,6,4)，其中aij，bjk，cki，则点A在基底i，j，k下的坐标为()A(12,14,10) B(10,1
3、2,14)C(14,10,12) D(4,2,3)解析：设点A对应的向量为，则8a6b4c8(ij)6(jk)4(ki)12i14j10k，故点A在基底i，j，k下的坐标为(12,14,10)故选A.答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6设e1，e2，e3是空间向量的一个单位正交基底，a4e18e23e3，b2e13e27e3，则a，b的坐标分别为_解析：由于e1，e2，e3是空间向量的一个单位正交基底，所以a(4，8,3)，b(2，3,7)答案：a(4，8,3)，b(2，3,7)7如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，D，E分别为AA1，B1C的中点，若记a，b，c，则_(
4、用a，b，c表示)解析：取BC中点为F，连EF，AF，则EF綊BB1，又AD綊BB1，所以EF綊AD，所以四边形ADEF为平行四边形，所以DE綊AF，所以()ab.答案：ab8在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若0(R)，则_.解析：如图，连接A1C1，C1D，则E在A1C1上，F在C1D上，易知EF綊A1D，即0，.答案：三、解答题(每小题10分，共20分)9如图，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，以底面正方形ABCD的中心为坐标原点O，分别以射线OB，OC，AA1的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系试写出正方体顶点
5、A1，B1，C1，D1的坐标解析：设i，j，k分别是与x轴，y轴，z轴的正方向方向相同的单位基向量因为底面正方形的中心为O，边长为2，所以OB.由于点B在x轴的正半轴上，所以i，即点B的坐标为(，0,0)同理可得C(0，0)，D(，0,0)，A(0，0)又i2k，所以(，0,2)即点B1的坐标为(，0,2)同理可得C1(0，2)，D1(，0,2)，A1(0，2)10在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设a，b，c，E，F分别是AD1，BD的中点(1)用向量a，b，c表示，；(2)若xaybzc，求实数x，y，z的值解析：(1)如图，abc，()()(ac)(2)()()(cabc)abc，
6、x，y，z1.|能力提升|(20分钟，40分)11已知向量a，b，c是空间的一基底，向量ab，ab，c是空间的另一基底，一向量p在基底a，b，c下的坐标为(1,2,3)，则向量p在基底ab，ab，c下的坐标为()A. B.C. D.解析：依题意，pa2b3c，设向量p在基底ab，ab，c下的坐标为(x，y，z)，则px(ab)y(ab)zc(xy)a(xy)bzc，所以所以即向量p在基底ab，ab，c下的坐标为.故选B.答案：B12设xab，ybc，zca，且a，b，c是空间的一个基底给出下列向量组：a，b，x；x，y，z；b，c，z；x，y，abc其中可以作为空间的基底的向量组有_个解析：如
7、图所设a，b，c，则x，y，z，abc.由A，B1，D，C四点不共面可知向量x，y，z也不共面同理可知b，c，z和x，y，abc也不共面，可以作为空间的基底因xab，故a，b，x共面，故不能作为基底答案：313已知PA正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且ABAP1，分别以，为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，求，的坐标解析：设e1，e2，e3，则e2，()e2e3(e3e1e2)e1e2，(0,1,0)14如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点，求证：EFAB1.证明：设a，b，c，则()()()(abc)，ab.(abc)(ab)(|b|2|a|2)0.，即EFAB1.- 1 -
