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1、第 8 讲 角度问题一、解答题x2 y 21(本小题满分为16分)设A, B分别为椭圆一 + = 1 (a b 0)的左、右顶点，椭圆的长轴长为4 , a2 b2且点l,f在该椭圆上.(1) 求椭圆的方程；(2) 设P为直线x二4上不同于点(4,0)的任意一点，若直线AP与椭圆相交于异于A的点M，证明：MBP 为钝角三角形.x2【答案】才+y2 =1详见解析解析】试题分析：(1)求椭圆的方程一般利用待定系数法求解，本题两个独立条件可求出方程中两个未知数，关键长轴长为 4的条件不能列错，(2)证明 MBP为钝角三角形，可利用向量数量积求证:BM -丽 0，这样只需列出各点坐标即可.试题解析：(1
2、)由题意：2a 4，所以a 2x2 y 2所求椭圆方程为耳+忘=1x2在椭圆上，可得b2 = 1 所求椭圆方程为才+ y 2 = 1(2)证明：由(1)知：A (2,0 ), B(2,0 ) 设 P (4, t)M(x ,y )MM则直线PA的方程为：y = 7 (x + 2)6由 y = 6(x + 2得(9 +12 )x2 + 4t2x + 4t2 36 = 0 x 2 + 4 y 2 = 4,因为直线PA与椭圆相交于异于A的点M-2 + T所以2t2 +18：1，所以x =M9 + 12由yM6匕+2)，得y6tM =吋所以M厂2t 2 +18J9+126t、9 +12 丿从而BM =4
3、t 26tBP =（2, t）8t 26t 22t 2所以BM BP二-厂+厂 二-盯 b 0)的一个焦点，C与C的公共弦12 a 2 b 212的长为2/6.(1) 求C2的方程；2(2) 过点F的直线1与C相交于二，三两点，与c相交于，二两点，且AC与BD同向1 2(口)若IAC = BD，求直线1的斜率(口)设C1在点二处的切线与x轴的交点为M，证明：直线1绕点户旋转时，A MFD总是钝角三角形【答案】(1)+ 1 ；(2)(i) ，(ii)详见解析.984【解析】试题分析：(1)根据已知条件可求得一的焦点坐标为J,再利用公共弦长为即可求解；(2)(i)设T .y kx +1 直线的斜率
4、为二则的方程为二二-，由 2得x2 +16kx-64 0，根据条件可知一工二三二x 2 4 yx 2x 2从而可以建立关于的方程，即可求解；(ii)根据条件可说明FA - FM-才-y +1-十+1 0，因此 214ZAFM是锐角，从而ZMFD 180 -ZAFM是钝角，即可得证试题解析：(1)由C: x2 4y知其焦点F的坐标为(0，1)，丁 F也是椭圆c2的一焦点，.a 2 - b 2 1，又C与c2的公共弦的长为2属，C与C2都关于；轴对称，且C的方程为x2 4 y，由此易知C与C2的公共点的坐标为(空6，)，+ = 1，联立，得a2 9，b2 8，故1224a 2 b 22的方程为斗+
5、十1 ；如图 f，A(xi, W，B(x2, y2)，C(x3, y3)，D(x4, y4)(。花与亜同向，且冃BD|，花二莎，从而x 一 x = x - x，即x - x = x - x，于31421234是(x + x 2 4 xx = (x + x121 232y = kx +1J2 - 4 xx，设直线.的斜率为贝扛的方程为二亡-1,由2434x 2 = 4 y得 x 2 +16 kx - 64 = 0，而 xiy = kx +1x2是这个方程的两根，x1 + x2 = 4k，x1 x2=-4，由x2y2得2 1 2 1 2 + = 1 89(9 + 8k2)x2 + 16kx-64
6、= 0，而x，x 是这个方程的两根，x + x16k649 + 8k2，x3x4 = - 9 + 8k2 ,j百2血2将带入，得-厂尹即-16(k2 +1) = 16厂 9(k2 +1)(9 + 8k 2J3434(9 + 8k2 = 1669，解得k = 乎，即直线的斜率为土普xjq(ii)由x2 = 4y得y = 2，C1在点二处的切线方程为：，即戸计-生，令v = 0,得x =才，即咤，.厨吕-D，而FA = (x, y -1 )，于是- 2x 2x 2FA - FM = + -y + 1 = + + 10，因此ZAFM 是锐角，从而ZMFD = 1 80-ZAFM 是钝角.，故直214
7、线绕点F旋转时，工总是钝角三角形.考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆位置关系.【名师点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及其性质以及直线与椭圆的位置关系，属于较难题，解决此 类问题的关键：(1)结合椭圆的几何性质，如焦点坐标，对称轴，一二+ -丁等；(2)当看到题目中出现 直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数关系，找准题设条 件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果及时求出来，可能需要整 体代换到后面的计算中去，从而减少计算量.3 设抛物线C：尹2=2x，点A(2,0), B(2,0),过点A的直线l与C交于M，
8、N两点.(1) 当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；(2) 证明：ZABM=ZABN.11【答案】(1)y = 2x+1或y二一2x一1 ； (2)证明见解析【分析】(1)当x二2时，代入求得M点坐标，即可求得直线BM的方程;(2)设直线l的方程，联立，利用韦达定理及直 线的斜率公式即可求得九 += 0，即可证明ZABM = ZABN.【详解】 当l与x轴垂直时，l的方程为x二2，可得M的坐标为(2,2)或(2,-2).所以直线BM的方程为11x +1 或 y 二 _ x-12 2(2)证明：当l与x轴垂直时，AB 为MN的垂直平分线，故ZABM =ZABN .当l与x轴不垂直时，设l的方程为
9、y = k (x 2)(k丰0), M (x, y ), N (x , y )则1 1 2 2y = k (x - 2)x 0, x 0 .由 fc12y2 = 2x得 ky 2 2 y 4k = 02可知 y + y =，yi y2 = _4 .12 k 1 2yy直线BM,BN的斜率之和为k+ k = 打+-+2BM BN x + 2 x + 2 12x y + x y +2(y + y )(x +2)(x+b) 2，12将X1二 + 2, x2二旨2及yi + y2, yi y2的表达式代入式分子，+ y)22y y + 4k(y + y )12 12k-8 + 8k=0.所以k + k
10、二0，可知BM,BN的倾斜角互补，所以ZABM =/ABN ,BM BN综上，/ABM =/ABN .【点睛】本题主要考查的是直线与抛物线的位置关系，一般要用到根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解 法考查学生分析问题解决问题的能力和计算能力，是中档题.4设抛物线C: y2二2Px(p 0), F为C的焦点，点A(x ,0)为x轴正半轴上的动点，直线l过点A且A与C交于P，Q两点，点B(XB,0)为异于点A的动点当点A与点F重合且直线l垂直于x轴时，|pQ = 4.(1)求 C 的方程；(2)若直线l不垂直于坐标轴，且/PBA = ZQBA，求证：x + x为定值.AB【答案】(1)
11、y2 = 4x ； (2)证明见解析【分析】(1) 将x = 2代入抛物线方程可求得|pQ |,由此可构造方程求得P，进而得到结果；(2) 设1:x = my + xA，与抛物线方程联立后得到韦达定理的形式；由/PBA = /QBA知k + k = 0APB QB代入韦达定理的结论整理可得定值.【详解】(p (1)由题意得：F -,0 ，V2丿当点A与F重合且直线1垂直于x轴时，1方程为：x =代入 y2 = 2px 得: y = p|pQ| = 2p = 4p = 2C的方程为：y2 = 4x.(2)证明：可设直线1 的方程为 x = my + x ， P(x , y )， Q(x , y
12、)A1122将 x = my + x 代入 y2 = 4x 中得： y2 -4my-4x = 0，AAy + y =4m 则 A = 16m2 + 16x 0, b0)的离心率为F为椭圆C的右焦点.A(-a, 0), |AF|=3.a 2b22(I) 求椭圆C的方程；(II) 设O为原点，P为椭圆上一点，AP的中点为M.直线OM与直线x=4交于点D,过O且平行于AP的直线与直线x=4交于点E.求证：ZODF=ZOEF.x2 y 2【答案】+= 1 ; (II)证明见解析.43【解析】试题分析：（1）根据椭圆的离心率为2 , |AF二3，结合性质a2二b2 + c2 ,列出关于a、b、c的方 程组，求出a、b、c,即可得椭圆C的方程；（2）设直线AP的方程为：y二k（x + 2）（k丰0），将其 代入椭圆方程，整理得（4k2 + 3）x2 +16k2x +16k2 -12二0，根据韦达定理可得M（去，在）直线OM的方程是y 一* X,令x二4，得D f 4, - 3 ,同理可得E（4,4 k ），根据斜率公式可得在4kI k 丿RtAEHO 和 RtADGO 中，ZODF 和 ZOEF 都与
