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1、2017年中考数学一轮复习第23讲特殊四边形【考点解析】知识点一、矩形的性质及判定的应用【例1】（2016 四川宜宾）如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形 的两条边AB、BC的长分别是6和8,则点P到矩形的两条对角线AC和BD的 距离之和是（）A. 4.8 B . 5 C . 6 D . 7.2【考点】矩形的性质.【分析】首先连接OP,由矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4,可求得 OA=OD=5, 4AOD的面积，然后由 $ aod=Sa aop+S dop=OA?PE+OD?PF 求得答案.【解答】解：连接OP,矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8,S 矩形 abcd=AB
2、?BC=48OA=OC, OB=OD, AC=BD=10 ,OA=OD=5Sa acd=S 矩形 abcd=24 ,- Sa aod=Sa acd = 12 , Saaod=Sa aop+Sa DOP=yOA?PE+-OD?PF=1-X5XPE+ -1-X5XPF= （ PE+PF ） =12 ,-1r -il* -解得：PE+PF=4.8 .故选：A.【变式】（2016 四川眉山 3分）如图，矩形 ABCD43, O为AC中点，过点O的直线分别与 AR CD 交于点E、F,连结BF交AC于点M 连结DEBO.若/ COB=60,FO=FC则下列结论：FB垂直平分 OC4EO里ACMBDE=E
3、FS /oe： Sabc帝2: 3.其中正确结论的个数是 （ ） A. 4个B. 3个C . 2个D. 1个【分析】利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论；证 OMBA OEB 得 EO中 CMB先证 bef是等边三角形得出 bf=ef,再证？debf得出DE=BF所以得 DE=EF由可知 BCIWABEQ则面积相等， AOE和 BEO属于等高的两个三角形，其面积比就等于两底的比，即 Saoe： SaboAE BE由直角三角形30角所对的直角边是斜边的一半得出 BE=2OE=2AU 得出结论 Saaoe： SabofAE: BE=1: 2.【解答】解：.矩形 ABCD43,。为AC中点，.O
4、B=OPZ COB=60 ,.OBC是等边三角形，.OB=BQ FO=FQFB垂直平分OG故正确；.FB垂直平分OG. .CM 摩OMB . OA=OP Z FOCW EOA Z DCO2 BAQ.-.FO(AEO/.FO=EQ易得OBLEF, .OM 母 AOEB.,.EOB2ACM5故正确；由OM摩0EB24CMB 得/ 1=/2=/3=30 , BF=B .BEF是等边三角形，.BF=Ef? DF/ BE 且 DF=BE 四边形DEBF是平行四边形，DE=BF，DE=EF故正确；在直角 BOE中3=30 ,BE=2O 匚 / OAEW AOE=30 , .AE=OEBE=2AES ZAO
5、E： SBCM=SaAOE Sa boE=1 ： 2,故错误；所以其中正确结论的个数为 3个；故选B【点评】本题综合性比较强，既考查了矩形的性质、等腰三角形的性质，又考查了全等三角形的性质和判定，及线段垂直平分线的性质，内容虽多，但不复杂；看似一个选择题，其实 相当于四个证明题，属于常考题型.知识点二、菱形的性质及判定的应用【例2】（2015辽宁朝阳）如图，在 ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别是线段 AD及 其延长线上，且 DE=DF给出下列条件：BE1EQBF/ EQAB=AC从中选择一个条 件使四边形BECF是菱形，并给出证明，你选择的条件是 （只填写序号）.【答案】，证明见解析.
6、【分析】由点 D是BC的中点，点E、F分别是线段AD及其延长线上，且 DE=DF即可得到 四边形BECF是平行四边形，由 AF是BC的中垂线，得到 BE=CE从而得到结论.【解析】 BD=CD DE=DF .四边形 BECF是平行四边形，BE1 EC时，四边形 BECF是矩 形，不一定是菱形；四边形BECF是平行四边形，则 BF/ EC一定成立，故不一定是菱形；AB=AC时，是BC的中点，AF是BC的中垂线，BE=CE，平行四边形 BECF是菱形. 故答案为：.【点评】此题主要考查了菱形的判定以及等腰三角形的性质，能根据已知条件来选择让问 题成立的条件是解题关键.【变式】（2016 青海西宁
7、2分）如图，在菱形 ABCD43, E, F分别是AQ BD的中点，若EF=2, 则菱形ABCM周长是 16 .【考点】菱形的性质；三角形中位线定理.【分析】先利用三角形中位线性质得到AB=4,然后根据菱形的性质计算菱形ABCM周长.【解答】解：: E, F分别是AD, BD的中点，.EF为4ABD的中位线，AB=2EF=4四边形ABC型菱形，AB=BC=D=DA=4，菱形ABCD勺周长=4X 4=16.故答案为16.知识点三、正方形的性质及判定的应用【例3】（2016 四川眉山 3分）把边长为3的正方形ABC噬点A顺时针旋转45得到 正方形AB C D,边BC与D C交于点O,则四边形 AB
8、OD的周长是（）A. 62 B . 6 C. 3亚 d,【分析】由边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45得到正方形 AB C D,利用勾 股定理的知识求出 BC的长，再根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可求BQ OD ,从而可求四边形 ABOD的周长.【解答】解：连接 BC ,旋转角/ BAB =45 , / BAD =45 ,在对角线AC上，,. B C =AB =3,在 RtAB C中，AC =卜， 亡=30.B/ C=3v- 3,在等腰 RtOBC 中,OB=BC=3 6-3,在直角三角形 OBC中，OC而（啦-3） =6-3历，.OD =3-OC =32- 3,.四边形 ABOD
9、的周长是：2AD +OB+OD=6+3 也 -3+啦 -3=啦 .故选：A.【点评】本题考查了旋转的性质、 正方形的性质以及等腰直角三角形的性质.此题难度适中，注意连接BC构造等腰RtOBC是解题的关键，注意旋转中的对应关系.【变式】（2016 四川攀枝花） 如图，正方形纸片 ABCD43,对角线AG BD交于点O,折叠正方形纸片ABCD使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕 DE分别交AB AC于 点E、G,连结GR给出下列Z论：/ ADG=22.5 ;tan/AED=?S aagcfSaogS四边形AEF%菱形；BE=2OG若 Saog=1 ,则正方形 ABCM面积是6+
10、旬电其中正确的结论个数为（）A. 2 B . 3 C. 4 D. 5【考点】四边形综合题.【分析】由四边形 ABC虚正方形，可得/ GAD=ADO=45 ,又由折叠的性质，可求得/ ADG 的度数；由 AE=Ef2AE;由AG=GFOG可彳# AGD的面积 OGD的面积；由折叠的性质与平行线的性质，易得 EFG是等腰三角形，即可证得 AE=GF易证得四边形AEFG菱形，由等腰直角三角形的性质，即可得 BE=2OG根据四边形 AEF加菱形可知 AB/ GF，AB=GF再由/ BAO=45 , / GOF=90可得出 OGF时等腰直角三角形，由 Saog=1求出GF的长，进而可得出 BE及AE的长
11、，利用正方形的面积 公式可得出结论.【解答】解：二四边形 ABC比正方形， ./ GAD=ADO=45 ,由折叠的性质可得：/ ADG=ZADO=22.5 ,故正确. 由折叠的性质可得：AE=EF /EFDhEAD=90 , .AE=EFC BE, .AE OG AAGDAOGDW,S AAGD SaOGD故错误. /EFDh AOF=90 ,EF/ AG.ZFEG= AGE / AGE= FGEFEGW FGE.EF=GF .AE=EF.AE=GF故正确.,. AE=EF=GF AG=GF.AE=EF=GF=AG 四边形AEFG是菱形，OGF=OAB=45 ,.EF=GF= -：OGBE=(
12、2EF=/2X 血OG=2OG故正确. 四边形AEF%菱形， .AB/ GR AB=GF / BAO=45 , / GOF=90 , .OGF时等腰直角三角形. S AOGF=1 , .?OGM,解得 OG=、.,.BE=2OG=21,GF=-上.二二二2,.AE=GF=2.AB=BE+AE=2 2+2, 1- S正方形 ABC二AE2=(2V2+2) 2=12+85L 故错误.其中正确结论的序号是：.故选B.【点评】此题考查的是四边形综合题，涉及到正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质等知识.此题综合性较强，难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思
13、想的应用.知识点四、特殊平行四边形的综合应用【例4】（2015辽宁铁岭）如图，矩形 ABC邛，AB=& AD=。点E、F分别在边CD AB上.（1）若DE=BF求证：四边形 AFC弱平行四边形；（2）若四边形 AFC弱菱形，求菱形 AFCE的周长.【答案】（1）证明见解析；（2） 25.【分析】（1）由四边形 ABC的矩形，得至ij AB=CD AB/ CD由DE=BF得至U AF=CE AF/ CE，即可证明四边形 AFC比平行四边形；由四边形AFCE是菱形，得到 AE=CE然后设DE=k表示出AE, CE的长度，根据相等 求出x的值，继而可求得菱形的边长及周长.【解析】（1）二.四边形 A
14、BCM矩形，AB=CD AB/ CD DE=BF，AF=CE AF/ CE，四 边形AFC既平行四边形；（2）二.四边形 AFCE 是菱形，AE=CE 设 DE=x,贝U AE=j62 X2 , CE=8 x ,贝U后X2 8 X,解得：x= 7,则菱形的边长为：8=竺，周长为：4X 竺=25,故44 44菱形AFCE勺周长为25.【点评】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的性质以及勾股定理等知识，能 正确地分析图形的特点是解决此类问题的关键.【变式】（2016 四川内江） 如图所示， ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点 A作BC 的平行线交CE的延长线于F,且AF= BR连接BF.求证：D是BC的中点；（2）若AB= AC,试判断四边形 AFBD的形状，并证明你的结论.F A考）K6行，特殊四边形的性质与判定。（油明:.1SE ad的中点，ae= deB AF/ BCD / ACE= / DCE / FAE=
