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1、一题多解 （1）-曲线的公切线例：（2016全国2卷16）若直线y kx b是曲线y In x 2的切线，也是曲线y ln（x 1）的切线，则b .【分析】考查了导数的几何意义、曲线公切线方程的求解，是基础中档题，难点是整体法消元解方程组。【解析】方法一、常规解法:设y kxb 与 y In x 2 禾口 y In(x1）分别切于点（知力）、区必）.则曲线yIn x 2的切线方程为:1x In x1.曲线yIn（x 1）的切线方程为:1x2+1x ln(x2 1)xx2+1片x2+1In x.In(x2 1In x-i1 In (x2 1)X2x2+1In 为 1 In(x2x2，解得x11）
2、齐In x111 In 2.方法二、参数法:kxb 与 y In x 2 禾口 yIn(x1）分别切于点（为，力）、区必）.、X1k注，即x1 +、yy2In x12 2 In ky1，而In(x2 1) In ky2k b 1 b kx2 b 1 k b，故 2 Ink 1 bIn k 1 k b两式相减得：k 2，所以b 1 In2.方法三、数形结合法(平移)：设y kx b与y In x 2和y ln(x 1)分别切于点(人$)、区必).函数y Inx 2和y ln(x 1)都是由y In x平移而来，一个向上平移 2单 位，一个向左平移1单位，故切线的斜率k 2.(只有是同一个函数平
3、移成两函数，才能应用)11由 y In x 2 得 k 2 一，即论，故 y1 In 捲 22 In 2x12将切点(丄,2 In 2)代入y 2x b，可得b 1 In 2. 2深化应用：1 21.若曲线yx与曲线ye为()aln x在它们的公共点 P(s,t)处具有公共切线，则实数a的值A .2B. 12C. 1D.2C【解析】曲线y占x2的导数为：y 1x，在P(s, t)处的斜率为：k -；2eee曲线y aInx的导数为：y a，在P(s,t)处的斜率为：k -.曲线y丄x2xs2e与曲线y aInx在它们的公共点P(s,t)处具有公共切线，可得-，并 e ss a且 ts2 , t
4、 aIn s，即 e1 s，解得 In s 1，解得 s2 e .可2e-s2 aI ns22e得a 1 .2.若曲线C1：y ax2(a 0)与曲线C?: y ex存在公共切线，则a的取值范 围为()i2 2A.吟，)B . (0,|2)d . (0,e4C【解析】Ci: yax2(a 0),y 2axCx2：y e ,y ex .设公切线与Ci: y2ax (a 0)切于点(Xi,axi2),与 C2: y exX2切于(x2,e 2 ),则2axix,2x2axiex2 xi,可得 2x2 Xi 2所以aie22x兰i；记f(x)暮，则f(x)勺ie2 (x 2)2，(2xJ2知在x (
5、0,2)时，f(x) 0 ,即f(x)在x (0,2)上单调递减，x (2,)时,f(x)0 ,即 f (x)在 x (2,2)上单调递增，f(x)min专,3.已知函数f x2xIn x,若函数f x的图象在点A、B处的切线重合，则a的取值范围是()A. ( i,)B. ( In2,)C. ( 2, 1)D.i,2A【解析】设A(xi, yi) B(x2, y2)为此函数上两点，且Xix2 ,观察函数图像可知xi 0 x2,则函数f x在A(xi,yi)处切线方程为2y (人捲 a) (2人i)(x xj，即y (2xi i)x2Xia ;函数f x在B(X2, y2)处切线方程为y Inx
6、2i(x X2),X2即y xX2In x2i;依题意两切线重合,2xi iX2x2 a In x?Xi0 X20丄i 。X2a x2 In x2 1(1)2 ln x2 1,4 x2g(t) -(t 1)2 Int 1(0 t 1),则 g(t) 4在0 t 1上是单调递减函数，则g(t)所以a的取值范围是(1,).令t 1(0 t 1), 设函数 X2丄 1) 1 (t 1)(t 2) 0,所以 g(t) 2t2tg(1)1，又当t 0时，g(t) ,【点拨】从切线重合（即同一条切线）得到两切点的关系，转化所求 变量a与其中一个切点变量的函数关系，考查化归转化与函数的思想, 构造函数，并注意函数自变量的范围，通过求导确定函数单调性得到 函数值域也即所求参数范围.
