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1、相似三角形的模型方法总结:“反A”型与“反X”型.示意图AEDCBBAODC“类射影”与射影模型示意图ADCB相似三角形6大证明技巧模块一相似三角形证明方法相似三角形的判定方法总结：1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.2. 三边成比例的两个三角形相似.(SSS)3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.(SAS)4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA)5. 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL)结论反A型：如图，已知AABC,ZADE=ZC，则AADEsACB(AA),:.AEAC=ADAB.若连CD、BE,进而能证明ACDsABE(SA
2、S)反X型：如图，已知角ZBAO=ZCDO,则AOBsADOC(AA),：.OAOC=ODOB.若连AD,BC,进而能证明AODsMOC.结论类射影：如图，已知AABC,ZABD=ZC，则ABDsACB(AA),AB2=ADAC.射影定理如图，已知ZACB=90,CH丄AB于H,贝AC2AH-AB,BC2=BH-BA,HC2=HA-HB#13#旋转相似”与“一线三等角”示意图结论AC旋转相似：._,.ABAD如图，已知ABCsADE,则一,ACAEZBAC=ZDAE,：.ZBAD=ZCAE,:.BADCAE(SAS)D肿I/丨一线三等角：如图，已知ZA=ZC=ZDBE，则DABsMCE(AA)
3、ABC巩固练习反A型与反X型已知ABC中，ZAEF=ZACB，求证：(1)AE-AB=AF-AC(2)ZBEO=ZCFO,ZEBO=ZFCO(3)ZOEF=ZOBC,ZOFE=ZOCBAEFOBC类射影BDAB如图，已知AB2AC-AD，求证：BCACADCB射影定理已知ABC,ZACB=90,CH丄AB于H,求证：AC2=AH-AB，BC2=BH-BA，HC2HA-HB#模块二比例式的证明方法通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型”（A型，X型，线束型）,也离不开上述的6种“相似模型”.但是，王老师认为，“模型”只是工具，怎样选择工具,怎样使用工具，怎样用好工具，取决于
4、我们如何思考问题.合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧.技巧一：三点定型法技巧二：等线段代换技巧三：等比代换技巧四：等积代换技巧五：证等量先证等比技巧六：几何计算技巧一：三点定型BDC#BDC#【例1】如图，平行四边形ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于F，求证:DCCF-AE一ADDCFABE【例2】如图，ABC中，ZBAC90，M为BC的中点，DM丄BC交CA的延长线于D，交AB于E.求证：AM2MDMED【例3】如图，在RtABC中，AD是斜边BC上的高，ZABC的平分线BE交AC于E，交AD于F
5、.求证:BF_ABBEBC15技巧二：等线段代换悄悄地替换比例式中的某条线段【例4】如图，在厶ABC,AD平分ZBAC,AD的垂直平分线交AD于E,交BC的延长线于F,求证：FD2FBFC【例5】如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边BA的延长线上，CE交AD于F,ZECA=,D求证：ACBE=CEAD-DCFEAB【例6】如图，AACB为等腰直角三角形，AB=AC，ZBAC=90，ZDAE=45，求证：AB2BECDA【例7】如图，AABC中，ABAC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CFAB，延长BP交AC于E，交CF于F.求证：BP2=PEPFBDC#技巧三：等比代换【例8】如图，
6、平行四边形ABCD中，过B作直线AC、AD于O,E、交CD的延长线于F，求证：OB2OE-OF.FAEDOB【例9】如图，在AABC中，已知,A90。时，AD丄BC于D,E为直角边AC的中点,过D、E作直线交AB的延长线于F.求证：AB-AF=AC-DF.AEBCDCF【例10】如图，在厶ABC中（ABAC）的边AB上取一点D，在边AC上取一点E，使AD=AE，直线DE和BC的延长线交于点P.求证：BP-CE=CP-BD17#技巧四：等积代换【例11】如图，AABC中，BD、CE是高，EH丄BC于H、交BD于G、交CA的延长线于M.求证：HE2=HG，MH.【例12】如图，在ABC中，AD丄B
7、C于D，DE丄AB于E,求证:/AEF=/CDF丄AC于F,连EF,【例13】如图，在厶ABC中，ZBAC=90，D为AC中点，AE丄BD,ZCBD=ZECD.E为垂足,求证:【例14】在RtABC中，AD丄BC,P为AD中点，MN丄BC,求证MN2=AN-NCC#技巧五：证等量先证等比【例15】BE、BF已知，平行四边形ABCD中，E、F分别在直线AD、CD上，EFIIAC,分别交AC于M、N.,求证：AM=CN.【例16】已知如图AB=AC，BDIIAC，ABIICE，过A点的直线分别交BD、CE于D、E.求证：AM=NC，MNIIDE.EADNMBC【例17】如图，ABC为等腰直角三角形
8、，点P为AB上任意一点，PF丄BC,PE丄AC,19AF交PE于N，BE交PF于M.,求证：PM=PN，MNIIAB.【例18】如图，正方形BFDE内接于ABC,CE与DF交于点N,AF交ED于点M,CE与AF交于点P.求证：（1）MNIIAC；（2）EM=DN.AMDEPN【例19】（探）设E、F分别为AC、AB的中点，D为BC上一点，P在BF上,DPIICF,1Q在CE上,DQIIBE，PQ交BE于R，交CF于S,求证：RS=3PQABD#【例20】(探)如图，梯形ABCD的底边AB上任取一点M,过M作MK/BD,MN/AC,分别交AD、BC于K、N,连KN,分别交对角线AC、BD于P、Q,求证：KP=QN.DCONQPKSRABM技巧六：几何计算【例21】(2016年四月调考)如图，在ABC中，ACAB,AD是角平分线，AE是中线,BF丄AD于G,交AC于点M,EG的延长线交AB于点H.(1)求证：AH=BH,(2)FG若ZBAC=60,求dg的值.21【例22】(2016七一华源)如图：正方形ABCD中，点E、点F、点G分别在边BC、AB、CD上，Z1=Z2=Z3=a.求证：(1)EF+EG=AE(2)求证：CE+CG=AF#
