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1、一、函数和极限1、集合的概念一般地我们把探讨对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必需是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。我们通常用大字拉丁字母A、B、C、表示集合，用小写拉丁字母a、b、c表示集合中的元素。假如a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：aA，否则就说a不属于A，记作：。 、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N、全部正整数组成的集合叫做正整数集。记作或。、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。、全
2、体实数组成的集合叫做实数集。记作R。集合的表示方法、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“”括起来表示集合、描述法：用集合全部元素的共同特征来表示集合。集合间的基本关系、子集：一般地，对于两个集合A、B，假如集合A中的随意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素和集合B中的元素完全一样，因此集合A和集合B相等，记作AB。、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记
3、作 ，并规定，空集是任何集合的子集。、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论：、任何一个集合是它本身的子集。即A A、对于集合A、B、C，假如A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。集合的基本运算、并集：一般地，由全部属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A和B的并集。记作AB。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。）即ABA，或xB。、交集：一般地，由全部属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A和B的交集。记作AB。即ABA，且xB。、补集：全集：一般地，假如一个集合含有我们所探讨问题中所
4、涉及的全部元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的全部元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集。简称为集合A的补集，记作。即U，且x A。集合中元素的个数、有限集：我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。、用来表示有限集中元素的个数。例如A，则(A)=3。、一般地，对随意两个集合A、B，有(A)(B)(AB)(AB)我的问题：1、学校里开运动会，设A是参与一百米跑的同学，B是参与二百米跑的同学，C是参与四百米跑的同学。学校规定，每个参与上述竞赛的同学最多只能参与两项，请你用集合的运算说明这项规定，并说明以下集合运算
5、的含义。、AB；、AB。2、在平面直角坐标系中，集合C()表示直线yx，从这个角度看，集合()|方程组：2145表示什么？集合C、D之间有什么关系？请分别用集合语言和几何语言说明这种关系。3、已知集合1x3，B(1)()=0。试推断B是不是A的子集？是否存在实数a使AB成立？4、对于有限集合A、B、C，能不能找出这三个集合中元素个数和交集、并集元素个数之间的关系呢？5、无限集合A1，2，3，4，n，B2，4，6，8，2n，你能设计一种比较这两个集合中元素个数多少的方法吗？2、常量和变量、变量的定义：我们在视察某一现象的过程时，常常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变更，我们把其称之为常
6、量；有的量在过程中是变更的，也就是可以取不同的数值，我们则把其称之为变量。注：在过程中还有一种量，它虽然是变更的，但是它的变更相对于所探讨的对象是极其微小的，我们则把它看作常量。、变量的表示：假如变量的变更是连续的，则常用区间来表示其变更范围。在数轴上来说，区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。区间的名称区间的满意的不等式区间的记号区间在数轴上的表示闭区间axba，b开区间axb（a，b）半开区间axb或axb（a，b或a，b）以上我们所述的都是有限区间，除此之外，还有无限区间：a，+)：表示不小于a的实数的全体，也可记为：ax+；(-，b)：表示小于b的实数的全体，也可记为：-xb；(-，
7、+)：表示全体实数，也可记为：-x+注：其中-和+，分别读作负无穷大和正无穷大,它们不是数,仅仅是记号。、邻域：设和是两个实数，且0.满意不等式的实数x的全体称为点的邻域，点称为此邻域的中心，称为此邻域的半径。2、函数、函数的定义：假如当变量x在其变更范围内随意取定一个数值时，量y依据确定的法则f总有确定的数值和它对应，则称y是x的函数。变量x的变更范围叫做这个函数的定义域。通常x叫做自变量，y叫做函数值（或因变量），变量y的变更范围叫做这个函数的值域。注：为了表明y是x的函数，我们用记号(x)、(x)等等来表示。这里的字母f、F表示y和x之间的对应法则即函数关系,它们是可以随意采纳不同的字母
8、来表示的。假如自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只探讨单值函数。、函数相等由函数的定义可知，一个函数的构成要素为：定义域、对应关系和值域。由于值域是由定义域和对应关系确定的，所以，假如两个函数的定义域和对应关系完全一样，我们就称两个函数相等。、域函数的表示方法a)：解析法：用数学式子表示自变量和因变量之间的对应关系的方法即是解析法。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆的方程是：x222b)：表格法：将一系列的自变量值和对应的函数值列成表来表示函数关系的方法即是表格法。例：在实际应用中，我们常常会用到的平方表，
9、三角函数表等都是用表格法表示的函数。c)：图示法：用坐标平面上曲线来表示函数的方法即是图示法。一般用横坐标表示自变量，纵坐标表示因变量。例：直角坐标系中，半径为r、圆心在原点的圆用图示法表示为：3、函数的简洁性态、函数的有界性：假如对属于某一区间I的全部x值总有f(x)M成立，其中M是一个和x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。注：一个函数，假如在其整个定义域内有界，则称为有界函数例题：函数在(-)内是有界的.、函数的单调性：假如函数在区间()内随着x增大而增大，即：对于()内随意两点x1及x2，当x1x2时，有 ，则称函数在区间()内是单调增加的。假如函数在区间()内
10、随着x增大而减小，即：对于()内随意两点x1及x2，当x1x2时，有，则称函数在区间()内是单调减小的。例题：函数2在区间(-,0)上是单调减小的，在区间(0)上是单调增加的。、函数的奇偶性假如函数对于定义域内的随意x都满意=，则叫做偶函数；假如函数对于定义域内的随意x都满意，则叫做奇函数。注：偶函数的图形关于y轴对称，奇函数的图形关于原点对称。、函数的周期性对于函数，若存在一个不为零的数l，使得关系式对于定义域内任何x值都成立，则叫做周期函数，l是的周期。注：我们说的周期函数的周期是指最小正周期。例题：函数是以2为周期的周期函数；函数是以为周期的周期函数。4、反函数、反函数的定义：设有函数，
11、若变量y在函数的值域内任取一值y0时，变量x在函数的定义域内必有一值x0和之对应，即，那末变量x是变量y的函数.这个函数用来表示，称为函数的反函数.注：由此定义可知，函数也是函数的反函数。 、反函数的存在定理：若在(a，b)上严格增(减)，其值域为 R，则它的反函数必定在R上确定，且严格增(减).注：严格增(减)即是单调增(减)例题：2，其定义域为(-)，值域为0).对于y取定的非负值,可求得.若我们不加条件，由y的值就不能唯一确定x的值，也就是在区间(-)上，函数不是严格增(减)，故其没有反函数。假如我们加上条件，要求x0，则对y0、就是2在要求x0时的反函数。即是：函数在此要求下严格增(减
12、). 、反函数的性质：在同一坐标平面内，和的图形是关于直线对称的。例题：函数和函数互为反函数，则它们的图形在同始终角坐标系中是关于直线对称的。如右图所示： 5、复合函数复合函数的定义：若y是u的函数：，而u又是x的函数：，且的函数值的全部或部分在的定义域内，那末，y通过u的联系也是x的函数，我们称后一个函数是由函数及复合而成的函数，简称复合函数，记作，其中u叫做中间变量。注：并不是随意两个函数就能复合；复合函数还可以由更多函数构成。例题：函数和函数是不能复合成一个函数的。因为对于的定义域(-)中的任何x值所对应的u值（都大于或等于2），使都没有定义。6、初等函数、基本初等函数：我们最常用的有五
13、种基本初等函数，分别是：指数函数、对数函数、幂函数、三角函数及反三角函数。下面我们用表格来把它们总结一下：函数名称函数的记号函数的图形函数的性质指数函数a):不论x为何值总为正数;b):当0时1.对数函数a):其图形总位于y轴右侧,并过(1,0)点b):当a1时,在区间(0,1)的值为负；在区间()的值为正；在定义域内单调增.幂函数a为随意实数这里只画出部分函数图形的一部分。令a):当m为偶数n为奇数时是偶函数;b):当都是奇数时是奇函数;c):当m奇n偶时在(-,0)无意义.三角函数(正弦函数)这里只写出了正弦函数a):正弦函数是以2为周期的周期函数b):正弦函数是奇函数且反三角函数(反正弦
14、函数)这里只写出了反正弦函数a):由于此函数为多值函数,因此我们此函数值限制在-/2,/2上,并称其为反正弦函数的主值.、初等函数：由基本初等函数和常数经过有限次的有理运算及有限次的函数复合所产生并且能用一个解析式表出的函数称为初等函数.例题：是初等函数。7、双曲函数及反双曲函数、双曲函数：在应用中我们常常遇到的双曲函数是：(用表格来描述)函数的名称函数的表达式函数的图形函数的性质双曲正弦a)：其定义域为:(-)；b)：是奇函数；c)：在定义域内是单调增双曲余弦a)：其定义域为:(-)；b)：是偶函数；c)：其图像过点(0,1)；双曲正切a)：其定义域为:(-)；b)：是奇函数；c)：其图形夹在水平直线1及1之间；在定域内单调增；我们再来看一下双曲函数和三角函数的区分：双曲函数的性质三角函数的性质和是奇函数，是偶函数和是奇函数，是偶函数它们都不是周期函数都是周期函数双曲函数也有和差公式：、反双曲函数：双曲函数的反函数称为反双曲函数.a)：反双曲正弦函数 其定义域为：(-)；b)：反双曲余弦函数 其定义域为：1)；c)：反双曲正切函数 其定义域为：(-11)；8、数列的极限我们先来回忆一下初等数学中
