［例1］已知y・(1・cos2x)2，则y.，有的同学忽视了，导致错解错因：复合函数求导数计算不熟练,其2x与x系数不一样也是一个复合的过程为：y2sin2x(1・cos2x).正解：设yu2,ulcos2x,oyy2u(1cos2x)2usin2x)^2x)xux2uHsin2x)IEBlsin2x(1cos2x)yHBlsin2x(1・cos2x).正解：设过点p的切线与曲线S切于点Q(x0,y0)，则过点p的曲线S的切线斜率正解：设过点p的切线与曲线S切于点Q(x0,y0)，则过点p的曲线S的切线斜率［例2］已知函数f(x)J(x2«)(x・1):判断1(x«)(x・1)f(x)在X=1处是否可导?错解：分析：；［(1r)2・1］；(12・1)•€lim—-阪・0•分段函数在“分界点”处的导数，须根据定义来判断是否可导1,・f).1正解：设过点p的切线与曲线S切于点Q(x0,y0)，则过点p的曲线S的切线斜率解：(12.1)1lim3lim2t・0・•0・1[(1x)2»]22正解：设过点p的切线与曲线S切于点Q(x0,y0)，则过点p的曲线S的切线斜率正解：设过点p的切线与曲线S切于点Q(x0,y0)，则过点p的曲线S的切线斜率Lim型=limA;tC|+Z心T+|ci+ax+i)-|(i2+i)]Az=2Df(x)在x=l处不可导正解：设过点p的切线与曲线S切于点Q(x0,y0)，则过点p的曲线S的切线斜率正解：设过点p的切线与曲线S切于点Q(x0,y0)，则过点p的曲线S的切线斜率注：x0，指x逐渐减小趋近于0；x0，指x逐渐增大趋近于0。
点评：函数在某一点的导数，是一个极限值，vf(xr)f(x)即lim0,△xD0,包括△xD0：,□△xD•0阪,因此，正解：设过点p的切线与曲线S切于点Q(x0,y0)，则过点p的曲线S的切线斜率在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数.［例3］求y2x2・3在点P(1,5)和Q(2,9)处的切线方程错因：直接将P,Q看作曲线上的点用导数求解分析：点P在函数的曲线上，因此过点P的切线的斜率就是yHxH处的函数值；_点Q不在函数曲线上，因此不能够直接用导数求值，要通过设切点的方法求切线口解：•/y2x23,^y・4x.yHx即过点P的切线的斜率为4,故切线为：y4xndy^9设过点Q的切线的切点为T(x,y),则切线的斜率为4兀沁又k,000PQx^20故吩°64x,2x2・8x・6O.x・1,3x・20ooo'o即切线QT的斜率为4或12,从而过点Q的切线为：y・4x・1,y°12x・15点评:要注意所给的点是否是切点口若是，可以直接采用求导数的方法求；不是则需设出切点坐标口［例4］求证：函数yx-图象上的各点处切线的斜率小于1,并求出其斜率为0的切线方程x分析：由导数的几何意义知，要证函数yx-的图象上各点处切线的斜率都小于x1,只要证它的导函数的函数值都小于1,因此，应先对函数求导后，再进行论证与求解・_解：(111)yx,y・11•1，即对函数yx定义域内的任一x，其导数值都小于1，于是由导数的几xx2x何意义可知，函数yx一图象上各点处切线的斜率都小于1.x(2)令110，得x，当x・1时，y・11——2;当x时，yZ,x21曲线yx-的斜率为0的切线有两条，其切点分别为x(1,2)与(・‘慈)，切线方程分别为y2或y^。
点评：在已知曲线yf(x)切线斜率为k的情况下，要求其切线方程，需要求出切点，而切点的横坐标就是yf(x)的导数值为k时的解，即方程f)k的解，将方程f翰)k的解代入yf(x)就可得切点的纵坐标，求出了切点坐标即可写出切线方程，要注意的是方程f軌)k有多少个相异实根，则所求的切线就有多少条［例5］已知a0，函数f(x)x3・a,xO,・设xi0，记曲线yf(x)在点M(xi?f(xi))处的切线为(1) 求l的方程；(2) 设l与x轴交点为(x2,0)，求证:1①xa3;21②若xa3，则1正解：设过点p的切线与曲线S切于点Q(x0,y0)，则过点p的曲线S的切线斜率正解：设过点p的切线与曲线S切于点Q(x0,y0)，则过点p的曲线S的切线斜率分析：本题考查导数的几何意义，利用其求出切线斜率，导出切线方程解：1)f/(x)lim号lim(xW"啟3°oc0^3x2・3x(Br)2(Br)3lim——olim［3x2・3x・c(・c)2］3x2x0f翰］)3xi2切线l的方程为yf(x)f執］)(xx)正解：设过点p的切线与曲线S切于点Q(x0,y0)，则过点p的曲线S的切线斜率即y(X］3a)・3X］2(xx^).(2)①依题意，切线方程中令y=0得，正解：设过点p的切线与曲线S切于点Q(x0,y0)，则过点p的曲线S的切线斜率1--=—（JTL-c?3）2（2xl+a3'）>□3於11.乜M历，当珂=加时,“="成立.x3a②由①知3x12xx」213x21L1由珂〉.：才n◎〔此时x2>1:.芒一；qW0,a3<^2<［例6］求抛物线yx2上的点到直线xy・2分析：可设P(x,x2)为抛物线上任意一点，则可把点另外，也可把直线向靠近抛物线方向平移，当直线与抛物线相切时的切点到直线解：根据题意可知，与直线xDyD2=0平行的抛物线标为口____2），那么y'I・2xI2x・1，口x%0A1、D切点坐标为(㊁,才)，切点到直线xDyD2=0ODDD抛物线上的点到直线的最短距离为7訂8-的最短距离.P到直线的距离表示为自变量x的函数，然后求函数最小值即可，xy・20的距离即为本题所求y=x21切线对应的切点到直线xDyD2=0的距离最短，设切点坐x-0211I-—・2丨247*2d—4,J28-正解：设过点p的切线与曲线S切于点Q(x0,y0)，则过点p的曲线S的切线斜率正解：设过点p的切线与曲线S切于点Q(x0,y0)，则过点p的曲线S的切线斜率三、经典例题导讲正解：设过点p的切线与曲线S切于点Q(x0,y0)，则过点p的曲线S的切线斜率［例1］已知曲线S:y!P(0,0)，求过点P的曲线S的切线方程正解：设过点p的切线与曲线S切于点Q(x0,y0)，则过点p的曲线S的切线斜率错解：y2x2・2x・4,过点P的切线斜率ky・4,过点P的曲线S的切线方程为x)正解：设过点p的切线与曲线S切于点Q(x0,y0)，则过点p的曲线S的切线斜率p，上述解法对求过点错因：曲线在某点处的切线斜率是该曲线对应的函数在该点处的导数值，曲线S上，求过点P的切线方程，却并非说切点就是点方程，认识不到位，发生了混淆.这是导数的几何意义.在此题中，点p凑巧在p的切线方程和求曲线在点p处的切线正解：设过点p的切线与曲线S切于点Q(x0,y0)，则过点p的曲线S的切线斜率a的取值范围f翰)0在R上恒成立，［例2］已知函数f(x)ax3・3x2xl在R上是减函数，求错解：f軸)・3ax2・6xI,•€f(x)在R上是减函数，3ax2・6xl0对一切xR恒成立，0，即36・12a0,a.正解：设过点p的切线与曲线S切于点Q(x0,y0)，则过点p的曲线S的切线斜率正解：设过点p的切线与曲线S切于点Q(x0,y0)，则过点p的曲线S的切线斜率正解：fl(k)3ax26xl,•€f(x)在R上是减函数，36・12a0且a0,a.x［例3］当x0，证明不等式ln(1x)x.1xf輛)0在R0000,0且a0，即正解：设过点p的切线与曲线S切于点Q(x0,y0)，则过点p的曲线S的切线斜率正解：设过点p的切线与曲线S切于点Q(x0,y0)，则过点p的曲线S的切线斜率证明：xxf(x)ln(x・1)一,g(x)ln(x・1)x，则f撤)一，当1x(1x)2x0时。
f(x)在函数，xxf(x)f(0)，即ln(1x)一0，又g軌)—，当x0时，1x1x，内是减函数，g(x)g(0)，即ln(1x)x0，因此，当x0时，不等式ln(1x)x00正解：设过点p的切线与曲线S切于点Q(x0,y0)，则过点p的曲线S的切线斜率x点评：由题意构造出两个函数f(x)ln(x・1),g(x)ln(x・1)x.利用导数求00的单调区间，从而导出1xf(x)f(0)及g(x)g(0)是解决本题的关键正解：设过点p的切线与曲线S切于点Q(x0,y0)，则过点p的曲线S的切线斜率正解：设过点p的切线与曲线S切于点Q(x0,y0)，则过点p的曲线S的切线斜率［例4］设工厂到铁路线的垂直距离为某处D修建一个原料中转车站么，D应选在何处20km,垂足为B.铁路线上距离，再由车站D向工厂修一条公路，才能使原料供应站C运货到工厂B为100km处有一原料供应站.如果已知每千米的铁路运费与公路运费之比为A所需运费最省解:设BD之间的距离为xkm,则|AD|=\；x2・202,|CD|=100・x.如果公路运费为故从原料供应站C途经中转站D到工厂A所需总运费C,现要在铁路a元/km,那么铁路运费为导，得y3aax+—:5v；x2・400x「15,「15(不符合实际意义点，而且也是函数y的最小值点点评：这是一道实际生活中的优化问题即使能求出生活中的优化问题它们的复合函数空间［例5］函数a的值，都有BC0D3:5,那3a亏元y为：y乎(100x)+a\：x2・400,(0x・100).对该式求=a(5xx2阳00)，令y・0，即得25x2=9(x2・400),解之得x2・400，舍去).且x1=15000y在定义域内的唯一驻点，所以x1=15000y的极小值/km..0000，车站D建于B,C之间并且与B相距15km处时，运费最省，也要涉及到较高的技能技巧，如果其目标00为高次多项式00、简单的分式00简单的无理00、简单的指数、对000，均可用导数法求其最值.00也可见，导数的引入，建立的目标函数是一个复合函数，用过去的知识求其最值往往没有一般方法.而运用导数知识，求复合函数的最值就变得非常简单.一般情况下f(x)・3x3・3ax!,g(x)f'(x)ax，其。