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1、第五章 随机优势Stochastic Dominance本章主要参考文献: 174, 135, 93 Bawa, S D a research bibliography, M S , 1982, 698-7125.1 Markowitz 模型记： : 投资于i种股票的资金份额, : 投资于i种股票的每元资金的回收率;若 = 1则 (, ,，)称为有价证券混合(portfolio mixes).显见总收益 Y 为： Y = 由于Ri是随机变量，故Y也是随机变量.设Y的分布为F(y)，概率密度函数为f(y),则有价证券的Markowitz模型为： MAXE(Y) = E() (1)s. t. (2
2、) = 1 (3)Markowitz模型的含义：对给定的风险水平V,即(2)式，选择有价证券混合，使之有最大的期望收益。该模型的解称为有效EV有价证券混合. 5.2 优势原则(Dominance Principle)一、最简单的优势原则：(强随机优势)1.按状态优于：定义：l(, ) l(, ) , 且至少对某一个，严格的不等式成立， 则称按状态优于.例，损失矩阵如下， 按状态优于4 72668347同样，可以称 较之 处于优势(具有随机优势)或称 处于被支配地位2.EV排序定义： 设随机事件的收益的两种概率分布F，G，F的均值不少于G，方差不大于G，即E(F)E(G)，V(F)V(G)且至少
3、有一严格不等式成立，则称F按EV准则较G有优势，此原则合理，但条件太强。3. Markowitz模型 方差给定(相同)，均值大者为优。二、 为什么要研究优势原则后果及其概率可以用抽奖来表示为了定量计算，要根据决策人的价值判断(公理，条件)来确定实值效用u.例由于决策人的认识偏差及量化误差，确定唯一的较准确的效用存在较大困难。但是，如果存在某种效用函数的类(符合条件C)，u均有f(记作 f)则可避免确定唯一的效用函数的困难。作用：删除非优势(被支配)行动，缩减有效行动集， 更深入了解决策问题的特点三、优势原则的一般表示设决策人希望期望效用极大, 采用 时收益y的效用为u(y), y的分布为(y)
4、, 则采取行动(方案) 的期望效用 u()=(y) (y)dy若 优于 则需 (y)比(y) 占优势： 即 (y) (y)dy(y) (y)dy (4)采用优势原则的目的是由于u(y)设定存在困难希望，通过对u(y)作某种总体要求(例如单增)使 (y)和(y)在满足一定条件时，(4)式成立。5-25.3 一、二、三等随机优势一、第一等随机优势FSD (First-Degree S D)1.第一类效用函数U (单增有界)记u的定义域I为a,b,(a,b)记作I = u|u和u 在I上连续有界，在I上u02.第一等随机优势定义：当u,且对I上所有y有 F(y) F(y)，则称行动 比起 具有第一等
5、随机优势,记作 .3.例： 1/61/61/61/61/61/6x141444y343114由EV排序E(x)=3,E(y)=8/3;v(x)=2,v(y)=14/9;无法判定优劣.由第一等随机优势可知xy4.Note：在实际使用时，只要描出F(y)与F(y) ，若F(y) 在F(y)的左侧，则F(y) F(y),可删掉F;若二条曲线有效叉点，第一等随机优势无法判定优劣。F(y) 对F(y)没有优势时无法判定F(y)对F(y)有优势, 只能说这种类型的优势原则无法判别与的优劣.二、第二等随机优势SSD1.第二类效用函数：(递增，凹) U= u| u,u 在I上连续有界，在I上u”02.第二等随
6、机优势定义：当 uU，且对I上所有z F(y) - F(y)dy 0则称方案j较i具有第二等随机优势，记作 : 3. 例(5.2例P75) 1/61/61/61/61/61/6x114444y023344由第一等随机优势无法判别根据第二等随机优势，可知X Y对任意y F(Y)-F(X)04.Note. 作图：开始上升较早(快)的不可能占优势 交点后F(X)增加的面积(阴影B)应小于等于交点 前比F(Y)小的面积。则F(X)2F(Y) 主要问题：对概率分布函数的“左侧尾部”敏感性三、第三等随机优势TSD1.第三类效用函数 (正三阶导数) = u | u , u” 在I上连续，在I 上u”0 由于
7、u”(x)0 不易判别, 而子类：递减的厌恶风险的效用函数易于判别. = u | u , r在I上是连续，有界，非正的2.第三等随机优势定义： 当u(y) 如对I上所有z有EF(y)EF(y),且 F(y)- F(y)dydz0, 则方案j比i有第三等随机优势3. 例：(P76例5.3) 1/41/41/41/41/4X13111111Y10121212如图，由于F(y) 上升较早，由第二等SD， Y 不可能是优势方案，在(11.5，13)区间， F(y)-F(x)0,故用SSD无法判别谁有优势.据TSD:EX=EY F(Y)-F(X)0 所以X较之Y有第三等随机优势.4.NoteFSD、SSD、TSD是逐次对 与 之差进行积分，积分差在I上非负j比i占优势FSD的判别：-0 ,即 F(y) - F(y) dy 0SSD的判别：D(z) = F(y) - F(y)dy 0TSD的判别： D(z)=dz 0性质：i, 非对称性 ii, 传递性 iii, TSDSDFSD 四、N等随机优势从理论上，可以通过对分布函数之差的多重积分来研究更高等级的随机优势，Tehranian(1980)就这样做过。然而很难把N3等随机优势所要求的U(y)中所蕴含的风险态度的假设表达清楚。计算的复杂性也是不言而喻的。
