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1、立体几何知识点总结一、平面 通常用一个平行四边形来表示.平面常用希腊字母a、B、Y或拉丁字母M、N、P来表示，也可用表示平行四边形的两个相对顶点字母表示, 如平面 AC.在立体几何中，大写字母A, B，C,表示点，小写字母，a,b,c,l,m,n,表示直线，且把直线和平面看成点 的集合，因而能借用集合论中的符号表示它们之间的关系，例如：a) AGl点A在直线丨上；A a点A不在平面a内；b) l u a直线l在平面a内；c) a 9 a一直线a不在平面a内；d) mm=A直线l与直线m相交于A点；e) am=A平面a与直线丨交于A点；f) anp=l平面a与平面B相交于直线l.二、平面的基本性
2、质公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.公理 2 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.公理 3 经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面. 根据上面的公理，可得以下推论.推论 1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面.推论 2 经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论 3 经过两条平行直线，有且只有一个平面.公理 4 平行于同一条直线的两条直线互相平行三、证题方法证题方法直接证法反证法同一法四、空间线面的位置关系(共面平行一没有公共点I相交一有且只有一个公共点异面(既不平行，又不相交)直线在平面内一有无数个
3、公共点直线不在平面内平行一没有公共点(直线在平面外)1相交一有且只有一公共点相交一有一条公共直线(无数个公共点)平行一没有公共点(1)直线与直线(2)直线和平面(3)平面与平面五、异面直线的判定 证明两条直线是异面直线通常采用反证法. 有时也可用定理“平面内一点与平面外一点的连线，与平面内不经过该点的直线是异面直线”.六、线面平行与垂直的判定（1）两直线平行的判定 定义：在同一个平面内，且没有公共点的两条直线平行 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，即若aa,a 垂直于同一平面的两直线平行，即若a丄a, b丄a,则ab （线面垂直的性质定理）
4、两平行平面与同一个平面相交，那么两条交线平行，即若aB，aGY，BGY二b,则ab （面面平行的性质公理） 中位线定理、平行四边形、比例线段，aGB二b,则3（线面平行的判定定理） 平行于同一直线的两直线平行，即若ab,bc，则ac.（公理4）（2）两直线垂直的判定 定义：若两直线成90角，则这两直线互相垂直. 一条直线与两条平行直线中的一条垂直，也必与另一条垂直即若bc,a丄b,则a丄c 一条直线垂直于一个平面，则垂直于这个平面内的任意一条直线即若a丄a,bu a，a丄b. 三垂线定理和逆定理：在平面内的一条直线，若和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂 直. 如果一条直线与一个
5、平面平行，那么这条直线与这个平面的垂线垂直即若aa,b丄a,则a丄b.（3）直线与平面平行的判定 定义：若一条直线和平面没有公共点，则这直线与这个平面平行 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行即若aa,bu a，ab, 则aa.（线面平行的判定定理） 两个平面平行，其中一个平面内的直线平行于另一个平面，即若a川u a，艸（4）直线与平面垂直的判定 定义：若一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直，则这条直线和这个平面垂直 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面即若mua，nua， mGn二B,l丄m,l丄n,则丨丄a.（线面垂直
6、判定定理） 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一平面即若la,a丄a,则丨丄a. 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面，即若a讯丄B，则l丄a. 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，即若a丄p,anp=a，l u氏|丄a,则丨丄a.（面面垂直的性质定理）两平面平行的判定 定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面平行，即无公共点o aB 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，即若a,bua，anb二P,aB,b B,则么3 （面面平行判定定理）推论:一个平面内的两条直线分别平
7、行于另一平面内的两条相交直线，则这两个平面平行，即若a,bu a,c,du P,a n b二P,a c,b d, 临B.（6）两平面垂直的判定 定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直，即二面角a-a-B=90 o a丄B. 如果平面经过另平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，即若l丄B,lu a，则a丄（面面垂直判定定理）七、空间中的各种角等角定理及其推论定理若一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，则这两个角相等推论若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，则这两组直线所成的锐角（或直角）相等.1、异面直线所成的角(1) 定义：a、b是两条异面直线
8、，经过空间任意一点O,分别引直线a，a,bb,则a和b所成的锐角(或直 角)叫做异面直线 a 和 b 所成的角.取值范围：0BW90.(3)求解方法根据定义，通过平移，找到异面直线所成的角B；解含有B的三角形，求出角B的大小.2、直线和平面所成的角斜线和射影所成的锐角(1)取值范围0WBW90(2) 求解方法作出斜线在平面上的射影，找到斜线与平面所成的角解含B的三角形，求出其大小.3、二面角及二面角的平面角(1) 半平面 直线把平面分成两个部分,每一部分都叫做半平面.(2) 二面角 条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱,这两个平面叫做 二面角的面,即二面角由半平
9、面一棱一半平面组成.若两个平面相交,则以两个平面的交线为棱形成四个二面角.二面角的大小用它的平面角来度量，通常认为二面角的平面角B的取值范围是0(a/b,b/ca/c)线线线面平行判定、八、，面面平行判定1、线面 l丄a, l丄b / n l丄al丄aa u an l丄a线面垂直判定1、面面垂直性质，推论2a丄丫P丄丫f n a丄丫a A P = a 一面面垂直定义a A p = l,且二面角a l 卩I n a丄 P 成直二面角JL；n b丄af bJ线面垂直判定2a / / b线面垂直性质2a丄ab丄aL；t?r1n a / / b应用以上“转化”的基本思路“由求证想判定唯一性结论：面面，
10、应用中常用于“反 证法垃同一法 过直线外一点，有且只有一条直线与己知直线平行r 过空间一点，有且只有一条直线与己知平面垂直 过空间一点，有且只有一个平面与已卸直线垂直(三)空间中的角与距离1.三类角的定义：异面直线所成的角B： 0BW90。垂而法，江棱(三垂娃定理法) 直线与平面所成的角：0WBW90。 (0 = 0 时，ba或b ua)2. 三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算”即:(1)找出或作出有关的角；(2) 证明其符合定义；(3) 指出所求作的角；(4) 计算大小。3. 空间距离：将空间距离转化为两点间距离一一构造三角形，解三角形，求该线段的长4. 点到面的距离，线线间距离、线面间距离、面面间距离都可转化为点到面的距离。 常用方法：三垂线法、垂面法、体积法、向量法等。知识点归纳必须熟练掌握基本概念、基本定理，熟练进行符号、文字、图形语言之间的转化1、平面的基本性质3个公理、3 个推论
