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1、9线性相关与线性无关教学要求:掌握线性相关与线性无关的定义，并能够判断向量组的线性相关性知识要点：一、定义与例子：定义9.1对向量组毎，如果存在一组不全为零的数,使得那么，称向量组线性相关.如果这样的个数不存在，即上述向量等式仅当时才能成立，就称向量组线性无关.含零向量的向量组一定线性相关，因为其中，不全为零.只有一个向量组成的向量组线性无关的充分必要条件是，线性相关的充分必要条件是考虑齐次线性方程组说11珂十牝屯%=码珂十圧乜十先択耳二AlL+2+-+VH=。（*）它可以写成或?其中由此可见，向量组线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组（*）有非零解.也就是说，向量组线性无关的充分必要条件是
2、齐次线性方程组（*）只有零解.例1向量组是线性无关的.解：设有使?卩14、2+X、J-311f=0得齐次线性方程组解此方程组得,所以向量组线性无关.例2设向量组线性无关，又设,证明向量组也线性无关.证明：设有因为线性无关，故有此线性方程组只有零解俎乂二妬二0,也即向量组线性无关.定理9.1向量组线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量可以由其余个向量线性表示证明：必要性设线性相关，即存在一组不全为零的数.不妨设，则有，使得即可以由其余个向量线性表示.其实，在向量等式中，任何一个系数的向量都可以由其余个向量线性表zK充分性设向量组中有一个向量能由其余个向量线性表示不妨设则因为不全为零，所以线性
3、相关.二、向量组线性相关和线性无关判别定理：矩阵衣的列向量组为,其中矩阵是通过对矩阵做行初等变换后得到的.我们有以下定理：定理9.2向量组与向量组有相同的线性相关性.证明：记.那么，当且仅当齐次线性方程组有非零解时向量组线性相关.当且仅当齐次线性方程组有非零解时向量组线性相关.由于齐次线性方程组或者只是对调了的第个方程与第个方程的位置，或者只是用非零数承的第个方程，或者只是把的第个方程的倍加到第个方程上去,这连个方程组一定是同解的，所以，对应的向量组有相同的线性相关性.定理9.3如果向量组线性相关，那么也线性相关.证明：向量组线性相关,即存在不全为零的数使于是但是，仍不全为零，因此，向量组线性
4、相关.推论9.4线性无关向量组的任意一个非空部分组仍是线性无关向量组.定理9.5设有维向量组与维向量组如果向量组线性无关，那么，向量组也线性无关.推论9.6维向量组的每一个向量添加个分量成为维向量.如果维向量组线性无关,那么，维向量组也线性无关.反言之，如果维向量组线性相关,那么，维向量组也线性相关.定义9.2在型的矩阵中，任取行列，位于这些行列交叉处的个元素，不改变它们在中所处的位置次序而得的阶矩阵行列式，称为矩阵的阶子式.型矩阵的阶子式共有个.则向量组线性无关的充分必要条件是矩阵中存在一个不等于零的阶子式.推论9.8个维向量组线性无关的充分必要条件是它们所构成的阶矩阵的行列式不等于零.推论
5、9.9当时，个维向量必线性相关.思考题:1、举例说明下列各命题是错误的(1) 若向量组线性无关，则可由线性表示;(2) 若有不全为零的数使则线性相关，也线性相关;(3) 若只有当全为零时，等式才能成立线性无关,也线性无关;若禺心线性相关,也线性相关，则有不全为零的数,使同时成立.2、判断下列向量组是否线性相关：若禺心线性相关,也线性相关，则有不全为零的数,使若禺心线性相关,也线性相关，则有不全为零的数,使线性3. 设向量组线性无关，讨论向量组的线性相关性.4、设向量组线性无关，线性相关则必可由向量组表示.5、选择题(1)总维向量组线性无关的充分必要条件是A.存在一组不全为零的数B.中任意两个向量都线性无关;C.中存在一个向量，它不能由其他向量线性表示;D.中任意一个向量都不能被其他向量线性表示.已知向量组线性无关，则向量组A.也线性无关;B.也线性无关;C.也线性无关;D.也线性无关.设有任意两个维向量组.如果存在两组不全为零的数.线性相关;B.C.线性无关；D.线性相关.
