《第八节-在直角坐标系下二重积分的计算》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第八节-在直角坐标系下二重积分的计算（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第八节 在直角坐标系下二重积分的计算本节和下一节，我们要讨论二重积分的计算方法，其基本思想是将二重积分化为两次定积分来计算，转化后的这种两次定积分常称为二次积分或累次积分. 本节先在直角坐标系下讨论二重积分的计算.分布图示 利用直角坐标系计算二重积分 关于积分限的确定 例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 交换二重积分次序的步骤 例8 例9 例 10 例 11 例 12 例13 利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算 例 14 例 15 例 16 例 17 内容小结 课堂练习 习题6-8内容要点 一、区域分类型区域：. 其中函数在区间上连续. 这种区域的特点是：穿过区域且平行于y轴的直线与区
2、域的边界相交不多于两个交点.型区域：. 其中函数在区间上连续. 这种区域的特点是：穿过区域且平行于轴的直线与区域的边界相交不多于两个交点. 二、二重积分的计算假定积分区域为如下型区域:.则有 (8.2)类似地，如果积分区域为型区域：.则有 (8.3) 特别地，当区域为矩形区域时，有 三、交换二次积分次序的步骤一般地，交换给定二次积分的积分次序的步骤为：（1） 对于给定的二重积分 先根据其积分限画出积分区域D（图6-8-14）（2）根据积分区域的形状，按新的次序确定积分区域D的积分限（3） 写出结果四、利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算利用被积函数的奇偶性及积分区域D的对称性，常会大大化简二重
3、积分的计算. 在例5中我们就应用了对称性来解决所给的问题. 如同在处理关于原点对称的区间上的奇（偶）函数的定积分一样，在利用这一方法时，要同时兼顾到被积函数的奇偶性和积分区域D的对称性两方面. 为应用方便，我们总结如下：1. 如果积分区域D关于y轴对称，则(1) 当时，有.(2) 当时，有其中2如果积分区域D关于x轴对称，则(1) 当时，有.(2) 当时，有其中注：进一步，我们还可给出积分区域D关于原点对称和关于直线对称的情况（见光盘）.例题选讲二重积分的计算例1（E01）计算其中D是由直线及所围成的闭区域.解一 如图，将积分区域视为型,解二 将积分区域视为型,例2 计算, 其中是由直线和所围
4、成的闭区域.解 如图,既是型,又是型.若视为型,则原积分若视为型，则其中关于的积分计算比较麻烦，故合理选择积分次序对重积分的计算非常重要.例3（E02）计算二重积分其中D是由抛物线及直线所围成的闭区域.解 如图,既是型，也是型.但易见选择前者计算较麻烦，需将积分区域划分为两部分来计算，故选择后者.例4（E03）计算 其中D由及y轴所围.解 画出区域的图形.将表成型区域,得因的原函数不能用初等函数表示.所以我们要变换积分次序. 将表成型区域,得例5（E04）计算其中D为.解 例6 计算二重积分 其中区域是由, 所围成的矩形.解 如图，因为是矩形区域,且所以例7（E05）求两个底圆半径都等于R的直
5、交圆柱面所围成的立体的体积.解 成的立体的体积. 及利用立体关于坐标平面的对称性, 只要算出它在第一卦限部分的体积然后再乘以8即可.如图.易见所求立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的底为它的顶是柱面于是,故所求体积为 交换二次积分次序的步骤例8 交换二次积分的积分次序.解 题设二次积分的积分限: 可改写为:所以 例9（E06）交换二次积分的积分次序.解 题设二次积分的积分限: 可改写为:所以 例10（E07）证明其中a、b均为常数, 且.证 等式左端二次积分的积分限:可改写为所以例11（E08）交换二次积分的积分次序. 解 题设二次积分的积分限:可改写为 所以 原式例12 交换二次积
6、分的积分次序. 解 题设二次积分的积分限:由 原式例13 计算积分 解 不能用初等函数表示,先改变积分次序. 题设二次积分的积分限:可改写为，所以利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算例14（E09） 计算其中积分区域由曲线与所围成.解 令因为关于轴对称,且故 例15 计算 其中解法一 先对积分,积分区域故解法二 先对积分，积分区域故解法三 利用对称性,因为积分域关于轴对称，且函数关于是奇函数,所以又 故例16（E10）计算 其中区域解 因为关于轴和轴对称，且关于或关于为偶函数注: 若直接在上求二重积分，则要繁琐很多.例17 证明不等式 其中证 因为关于对称，所以，故又由于及而的面积为 1. 由二重积分性质,有课堂练习1.变换下列二次积分的次序: 2.求 其中D是以(0, 0), (1, 1), (0, 1)为顶点的三角形.
