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1、2014年普通高等学校招生全国统一考试北京卷文科数学 本试卷共6页，150分。考试时长120分钟，。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的4个选项中，选出符合题目要求的一项。1.若集合，则（ ） A. B. C. D.2.下列函数中，定义域是且为增函数的是（ ） A. B. C. D.3.已知向量，则（ ） A. B. C. D.4.执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ） A. B. C. D.5.设、是实数，则“”是“”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而
2、不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分不必要条件6.已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是（ ） A. B. C. D.7.已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最大值为（ ） A. B. C. D.8.加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足的函数关系（、是常数），下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ） A.分钟 B.分钟 C.分钟 D.分钟第2部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。9.若，则 .10.设双曲线的两个焦点为，一个顶点式，则的方程为
3、 .11.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的最长棱的棱长为 .12.在中，则 ； .13.若、满足，则的最小值为 .14.顾客请一位工艺师把、两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件颜料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作，两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下： 工序 时间原料粗加工精加工原料原料则最短交货期为 工作日.三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。15.（本小题满分13分）已知是等差数列，满足，数列满足，且是等比数列.（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前项和.16.（本小
4、题满分13分）函数的部分图象如图所示.（1）写出的最小正周期及图中、的值；（2）求在区间上的最大值和最小值.17.（本小题满分14分）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，、分别为、的中点.（1）求证：平面平面；（2）求证：平面；（3）求三棱锥的体积.18. （本小题满分13分）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图：（1）从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率；（2）求频率分布直方图中的a，b的值；（3）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试估计样本中的100名学生该周
5、课外阅读时间的平均数在第几组（只需写出结论）19. （本小题满分14分）已知椭圆C：.（1） 求椭圆C的离心率；（2）设O为原点，若点A在直线，点B在椭圆C上，且，求线段AB长度的最小值.20. （本小题满分13分）已知函数.（1）求在区间上的最大值；（2）若过点存在3条直线与曲线相切，求t的取值范围；（3）问过点分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）绝密考试结束前 2014年普通高等学校招生全国统一考试数 学（文）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1C2B3A4C5D6C7B8B二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）92101112 1311442三、
6、解答题（共6小题，共80分）15（共13分）【解析】 设等差数列的公差为，由题意得所以设等比数列的公比为，由题意得，解得所以从而 由知数列的前项和为，数列的前项和为所以，数列的前项和为16（共13分）【解析】 的最小正周期为 因为，所以于是当，即时，取得最大值0；当，即时，取得最小值17（共14分）解：（）在三棱柱中，底面所以又因为所以平面所以平面平面（）取中点，连结，因为，分别是，的中点，所以，且因为，且，所以，且所以四边形为平行四边形所以又因为平面，平面，所以平面（）因为，所以所以三棱锥的体积18（共13分）解：（）根据频数分布表，100名学生中课外阅读时间不少于12小时的学生共有名，所以
7、样本中的学生课外阅读时间少于12小时的频率是从该校随机选取一名学生，估计其课外阅读时间少于12小时的概率为（）课外阅读时间落在组的有17人，频率为，所以课外阅读时间落在组的有25人，频率为，所以（）样本中的100名学生课外阅读时间的平均数在第4组19（共14分）解：（）由题意，椭圆的标准方程为所以，从而因此，故椭圆的离心率（）设点，的坐标分别为，其中因为，所以，即，解得又，所以因为，且当时等号成立，所以故线段长度的最小值为20.（共13分）解：（）由得.令，得或.因为， 所以 在区间上的最大值为 .（）设过点的直线与曲线相切于点 则且切线斜率为 所以切线方程为，因此 .整理得.设 则“过点存在3条直线与曲线相切”等价于“有3个不同零点”.与的情况如下：0100 所以，是的极大值，是的极小值当，即时，此时在区间和上分别至多有1个零点，所以至多有2个零点当，即时，此时在区间和上分别至多有1个零点，所以至多有2个零点当且，即时，因为，所以 分别在区间，和上恰有个零点.由于在区间和上单调，所以分别在区间和上恰有1个零点.综上可知，当过点存在条直线与曲线相切时，的取值范围是 .（）过点 存在条直线与曲线相切；过点 存在条直线与曲线相切；过点 存在条直线与曲线相切.：
