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1、储油罐的变位识别与灌容表标定摘要本文先同过对平头椭圆柱体油罐进行建模研究分析，用积分的方法导出了卧 式倾斜安装椭圆柱体油罐不同液面高度时贮油量的计算公式，从而得到一般性通 用模型。利用通用模型解出了两端球冠圆柱体油罐在横向和纵向倾斜共同影响下 不同液面高度时贮油量的计算公式，由易到难层层深入。在解决问题二过程中， 如何将横向影响因素转化到纵向上是解决问题二的关键所在。我们通过建立几何 模型，分析得出了横纵转化的关系式。在求解a,B过程时，定义了一个偏差函 数f(h)以及单位偏差函数G (h)，利用问题二中提供的数据，通过使用MATLAB 进行数据拟合，得出一个单位偏差函数g(h),在给定的h下
2、，两个单位偏差函数 作差，差值越接近零，说明这种情况下的a,B越接近真实值，利用M ATLAB通 过使用步长法，即可求解出a，B值。关键词：变位 罐容表 卧式储油罐一、问题的重述地下储油罐一般都有一套与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和 油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐 内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量 的变化情况。但是，事情往往没有那么简单，许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变 形等原因，罐体就会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称变位），灌容表因 此也会发生该变。这就需要定期的对灌容表进行重新标定，才能真
3、正有益的指导 实践。有图：图1 是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两 端为球冠体；图2 是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图 3 是罐体横向偏转变位的 截面示意图。 要求用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。（1）为了了解罐体变位对罐容表的影响，利用如图 4的小椭圆型储油罐（两 端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为a=4.1度的纵向变位两种情 况做了实验，实验数据如附件1 所示。建立数学模型研究罐体变位对罐容表的影 响，并给出罐体变位后油位高度间隔为 1cm 的罐容表标定值。（2）对于图1 所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型， 即
4、罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度B ）之间 的一般关系。利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件 2），根据 建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容 表标定值。进一步利用附件 2 中的实际检测数据来分析检验模型的正确性与方法二、问题背景与模型准备储油罐不仅是液态货物（如石油）的储存设备 ,又是液态货物贸易的重要收 发计量器具。对于储油罐在进行贸易交接时,直接关系到双方利益1。油罐的倾斜 还可能造成油罐的疲劳损伤2，增大发生危险的可能性，为此如何发现储油罐存 在差量的原因,并加以解决是非常重要的工作。90 年代以来我国加油站
5、建设速度 加快，现在全国已有加油站点 10 余万座，所以地下储油罐的安全状况备受关注。 良好的地下储油罐系统须具有双层壁的罐体、二次容器、管道防护、腐蚀防护、 泄漏检查与监控等功能，预防机制对地下储油罐防渗非常重要。求解本问题，重在解决复杂的积分计算问题，所以，在解决问题之前，我们 必须建立合适的自定义空间直角坐标系，为接下来有序的解决复杂的积分问题提 供基本依据。我们设油桶纵向底边线为X轴，x轴与油桶左端面交点为原点0, 过0沿椭圆短轴方向向上为y轴，我们知x轴与y轴垂直，用同样方法沿长轴做 z 轴，这样空间直角坐标系建立完毕。（如图 1）同样，我们在求球冠内油量时也 可以炮制此法，这样可以
6、较为方便有条理的求出球冠内油量。图1建立合适的自定义空间直角坐标系我们拟以以下流程进行讨论研究，以提高建模的条理性和工作过程的有效性：求解椭 圆油罐 问题求解圆 柱体油求解球 冠内油 量建模的步 爭流程图-推广-k求解圆柱 体内的油 J量丿相加得出标定值， 研究模型性能得出含a,B的h和 V的函数表达式线性拟合求a,3得到椭圆储油 罐的灌容表分析各问题间 的联系研究变位影 响，得出标定 值仃将横向变位转为纵向变位分三种情 况分析求纵向变 位时的截 面积积分法求 解无变位 截面积近似计算球冠内油 量三、模型的假设1) 油位探针、注油口、出油管、油浮子等所占容积远远小于储油量，忽略不 计。2) 储
7、油罐内外的气压相差不大，我们认为是相同的。3) 我们认为储油罐在使用的整个过程中是刚性的未发生变形。4) 忽略温度变化给油罐带来的影响。5) 假设储油罐的圆柱体、球冠体、椭圆的实际形状都符合几何上对它们的定 义。6) 油位探针在变位时相对于储油罐偏移微小，可以看做是与储油罐相对固定 的。四、相关符号说明a实验用椭圆油罐半长轴；b实验用椭圆油罐半短轴；h油位探针显示的油位高度；Hx=0处油液面的实际咼度；A储油罐内储油的横截面面积；L1油位探针头到原点0的距离；L油罐纵向长度；储油罐纵向倾斜时相对水平面的夹角；B油罐横向倾斜时产生的偏角r圆柱体半径R球冠的曲率半径V0圆柱体储油罐中间部分油量V1
8、左半部球冠体中油量V2右半部球冠体中油里五、模型的建立和求解5.1、问题一的建模与求解5.1.1小椭圆形储油罐未发生变位 当储油罐未发生变位时,油罐各处高度相同,截面如图 1 所示,其截面面积积分得:(1) (2), r. h b ab ab .小 .h bA 二 ab arcsm+sm2arcsmb 22bV = LA = L(ab arcsin 口 + 型 + 仝 sin 2arcsin 巳)b 22b=abL (arcsinh 一 b兀 1宀 .+ sin 2arcsmb 22h b)b)(3)5.1.2当油罐发生纵向偏移当油罐发生纵向偏移时，几何简图如图 2 所示，此时油位探针测得的高
9、度并 不是实际的高度，应将其转换回去，则在离左端面 x 的地方其截面面积,.h +1 tana x tan a b、 兀 ab ab . “. zh +1 tan a x tan a b、A = arcsm( +) + sm(2arcain( +) 当h (l-1 )tana时，如图3所示，此时有：V (h) =A( h, x)dx0A图3需要注意的是此式是当(1 1 )tana h 2b 1 tan a时成立.1V(h,x) = Jxi A(h,x)dx (0 x1 2b -1 tan a时如图4所示，此时有：1V (h)=兀 ab 一 Jxi A(h, x)dx05.1.3 问题一的求解利
10、用前面1.1 , 1.2,当a = 0o,a= 4.1o时，利用MATLAB编程（见附件1,附 件2）分别求出油位高度间隔0.01 m的罐容表标定值，见表1.表1hv1v2hv1v2hv1v20.010.00530.00350.411.24051.0050.812.95182.70360.020.01490.00630.421.2821.04460.822.99252.74550.030.02740.010.431.32371.08450.833.0332.78720.040.0420.01480.441.36571.12480.843.07312.82870.050.05860.02070.
11、451.40781.16530.853.11292.870.060.07680.02790.461.45011.20620.863.15242.91110.070.09660.03630.471.49261.24720.873.19152.95180.080.11770.04610.481.53531.28860.883.23032.99230.090.140.05740.491.57811.33010.893.26863.03250.10.16360.07010.51.6211.37190.93.30663.07240.110.18820.08440.511.66411.41390.913.
12、34423.1120.120.21390.10030.521.70721.4560.923.38133.15120.130.24050.11770.531.75051.49840.933.41793.19010.140.26810.13690.541.79381.54090.943.45413.22860.150.29650.15780.551.83731.58350.953.48983.26670.160.32580.18030.561.88081.62630.963.52493.30440.170.35580.2040.571.92431.66920.973.55963.34170.180
13、.38660.22890.581.96791.71220.983.59363.37850.190.41810.25490.592.01151.75530.993.6273.41490.20.45030.28190.62.05511.798513.65993.45070.210.48310.30980.612.09871.84181.013.6923.48610.220.51650.33850.622.14231.88511.023.72353.52090.230.55060.36810.632.18581.92851.033.75433.55510.240.58520.39850.642.22941.97191.043.78443.58880.250.62040.42970.652.27292.01541.053.81363.62180.260.6560.46150.662.31632.05881.063.8423.65420.270.69220.4940.672.35962.10231.073.86963.68590.280.72890.52710.682.40292.14571.083.89623.71690.290.7660.56090.692.44612.
