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1、高一数学函数的定义域与值域一、学问归纳：（一）函数的定义域与值域的定义：函数(x中自变量x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y的值叫做函数值。函数值的集合f(xxA叫做函数的值域。（二）求函数的定义域一般有3类问题：1、已知解析式求使解析式有意义的x的集合常用依据如下：分式的分母不等于0； 偶次根式被开方式大于等于0； 对数式的真数大于0，底数大于0且不等于1； 指数为0时，底数不等于02、复合函数的定义域问题主要依据复合函数的定义，其包含两类：已知fg(x的定义域为x（）求f(x的定义域，方法是：利用a 求得 g(x 的值域，则 g(x 的值域即是 f(x 的定义域。 已知f(x
2、的定义域为x（）求fg(x的定义域,方法是：由a 求得 x 的范围，即为 fg(x 的定义域。 3、实际意义的函数的定义域，其定义域除函数有意义外，还要符合实际问题的要求。（三）确定函数的值域的原则1、当数(x用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合。2、当函数(x图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y的集合。3、当函数(x用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域与其对应法则唯一确定。常见函数的值域：函数2值域Ra0a0R4、当函数由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。（四）求函数值域的方法：1、视察法，2、配方法，3、判别式法，4、反函数法，5、换元法，
3、6、图象法等二、例题讲解：【例1】求下列函数的定义域（1） （2）(3( (0且1，kR解析 （1）依题有 函数的定义域为(2依题意有 函数的定义域为（3）要使函数有意义，则0，即当k0时，定义域为R当k0时，（）若ab0,则 定义域为(若0 ，则 ， 定义域为 (若0，则当0 时定义域为 R ；当 k 1 时，定义域为空集 评析把求定义域的问题等价转化为关于x的不等式（组）的求解问题，其关键是列全限制条件(组。【例2】设(x的定义域为0，2，求（1）f(x2； (2f(|21|； (3f( (a0的定义域分析：依据若f(x的定义域为,则fg(x的定义域为ag(xb的解集，来解相应的不等式（或
4、不等式组）解：（1）由0x22得 定义域为-210,1(2由212，得 -2212 所以定义域为（3）由 得又因a0， 若2a，即0a1时，定义域为x2若2a，即a1时，x，此时函数不存在变式:已知函数f(1的定义域是0，1，求函数f(x的定义域。 1，2【例3】求下列函数的值域（1） （2） （3）（分析）（1）可分别常数后再依据定义域求值域，也可反解x求值域（2）常数后再利用配方法求解，也可采纳判别式法（3）可以用换元法或者单调性法解：（1）方法一：分别常数法 由，得函数的值域为（-，2）（2，+）方法二：反函数法由得，整理得：（2）31，若2=0，有31=0 ，与2=0冲突若20，有，y
5、2 函数的值域为 y2(2 方法一：配方法 而 函数的值域为方法二：判别式法变形得（1）x2-(13=0当1时，此方程无解当y1时，xR =（1）24(1(3 0，解得 1y又y1， ， 函数的值域为（3）方法一：换元法令，则t0且 函数的值域为方法二：单调性法函数的定义域在上均是增函数故在上是增函数函数的值域为变式1：已知函数f(x的的值域是，求的值域。解：, , 令, 则，,函数(t在区间上递增函数的值域为变式2：已知，求的值域【例4】（1）求 的值域。（2）求函数的值域。（分析）（1）分段函数的值域的求法从局部探讨，把握局部和整体的关系（2）属复合函数g(x的值域问题，先由函数定义域求出
6、(x的值域，再在此值域上求出(u的值域解：（1）若x1，则10,0311，有-21，则10, 0311， 有-23121,求b的值解：（1）只要2+(213能取到（0，+）上的全部实数，则f(x的值域为R，当0时 3能取到（0，+）上的全部实数。当a0时应有解得(2由题意得，当x(-，2时，1+24x0,x(-，2时，。在（-，2）上是增函数。最大值是 （3）在1，b上是增函数，f(x在1，b上的值域是1(b,由题意知f(x在1，b上的值域是1，b，f(，即解得1(舍去或3点评：在娴熟驾驭求函数值域的几种常规方法的基础上要对详细题目做详细分析，应选择最优的方法求函数的值域不但要重视对应法则的作用，而且要特殊留意定义域对值域的制约作用。变式：设的值域为-1，4，求的值 （4，3）
