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1、一、等差数列选择题1等差数列中，若，则（ ）ABC2D9解析：A【分析】由和求出公差，再根据可求得结果.【详解】设公差为，则，所以.故选：A2已知数列是公差不为零且各项均为正数的无穷等差数列，其前项和为.若且，则下列判断正确的是（ ）ABCD解析：D【分析】利用等差数列的求和公式可判断A选项的正误；利用作差法结合等差数列的通项公式可判断B选项的正误；利用结合不等式的基本性质可判断C选项的正误；利用等差数列的求和公式结合不等式的基本性质可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，由于，故选项A错误；对于B选项，由于，则，故选项B错误；对于C选项，由于，故选项C错误；对于D选项，设，则，从而，由于，故
2、.，故.，由此，故选项D正确.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列中不等式关系的判断，在解题过程中充分利用基本量来表示、，并结合作差法、不等式的基本性质来进行判断.3已知数列中，且，则这个数列的第10项为（ ）A18B19C20D21解析：B【分析】由已知判断出数列是以为首项，以为公差的等差数列，求出通项公式后即可求得.【详解】，且，数列是以为首项，以为公差的等差数列，通项公式为，故选：B.4在等差数列中，已知前21项和，则的值为（ ）A7B9C21D42解析：C【分析】利用等差数列的前项和公式可得，即可得，再利用等差数列的性质即可求解.【详解】设等差数列的公差为，则， 所以，即，所
3、以，所以，故选：C【点睛】关键点点睛：本题的关键点是求出，进而得出，即可求解.5“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将孙子算经中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则（ ）A103B107C109D105解析：B【分析】根据题意可知正整数能被21整除余2，即可写出通项，求出答案.【详解】根据题意可知正整数能被21整
4、除余2，.故选：B.6已知等差数列的前项和为，且.定义数列如下：是使不等式成立的所有中的最小值，则（ ）A25B50C75D100解析：B【分析】先求得，根据，求得，进而得到，结合等差数列的求和公式，即可求解.【详解】由题意，等差数列的前项和为，且，可得，因为，即，解得，当，（）时，即，即，从而.故选：B.7设等差数列的前项和为，若，则（ ）A60B120C160D240解析：B【分析】根据等差数列的性质可知，结合题意，可得出，最后根据等差数列的前项和公式和等差数列的性质，得出，从而可得出结果.【详解】解：由题可知，由等差数列的性质可知，则，故.故选：B.8设是等差数列（）的前项和，且，则（
5、）ABCD解析：C【分析】由题建立关系求出公差，即可求解.【详解】设等差数列的公差为，.故选：C9已知数列是公差不为零的等差数列，且，则（ ）ABC3D4解析：A【分析】根据数列是等差数列，且，求出首项和公差的关系，代入式子求解.【详解】因为，所以，即，所以.故选：A10已知数列，都是等差数列，记，分别为，的前n项和，且，则=（ ）ABCD解析：D【分析】利用等差数列的性质以及前项和公式即可求解.【详解】由，.故选：D11设，数列的前项和，则存在数列和使得（ ）A，其中和都为等比数列B，其中为等差数列，为等比数列C，其中和都为等比数列D，其中为等差数列，为等比数列解析：D【分析】由题设求出数列
6、的通项公式，再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征，逐项判断，即可得出正确选项.【详解】解：，当时，有；当时，有，又当时，也适合上式，令，则数列为等差数列，为等比数列，故，其中数列为等差数列，为等比数列；故C错，D正确；因为，所以即不是等差数列，也不是等比数列，故AB错.故选：D.【点睛】方法点睛：由数列前项和求通项公式时，一般根据求解，考查学生的计算能力.12等差数列的前项和为，若，则（ ）A11B12C23D24解析：C【分析】由题设求得等差数列的公差，即可求得结果.【详解】，公差，故选：C.13已知等差数列的前项和为，且，下列四个命题：公差的最大值为；记的最大值为，则的最大值为30；.
7、其真命题的个数是（ ）A4个B3个C2个D1个解析：B【分析】设公差为，利用等差数列的前项和公式，得，由前项和公式，得，同时可得的最大值，或时取得，结合递减数列判断D【详解】设公差为，由已知，得，所以，A正确；所以，B错误；，解得，解得，所以，当时，当时，有最大值，此时，当时，有最大值，此时，C正确又该数列为递减数列，所以，D正确故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的前项和，掌握等差数列的前和公式与性质是解题关键等差数列前项和的最大值除可利用二次函数性质求解外还可由求得14已知数列的前n项和，则（ ）A350B351C674D675解析：A【分析】先利用公式求出数列的通项公式，再利用通
8、项公式求出的值.【详解】当时，；当时，.不适合上式，.因此，；故选：A.【点睛】易错点睛：利用前项和求通项，一般利用公式，但需要验证是否满足.15已知等差数列的前n项和为Sn，若S2=8，则a1等于（ ）A1B2C3D4解析：C【分析】利用等差数列的下标和性质以及基本量运算，可求出【详解】设等差数列的公差为，则，解得，解得故选：C二、等差数列多选题16已知数列满足：，当时，则关于数列的说法正确的是 （ ）AB数列为递增数列CD数列为周期数列解析：ABC【分析】由，变形得到，再利用等差数列的定义求得，然后逐项判断.【详解】当时，由，得，即，又，所以是以2为首项，以1为公差的等差数列，所以，即，故
9、C正确；所以，故A正确；，所以为递增数列，故正确；数列不具有周期性，故D错误；故选：ABC17已知数列满足，且，则（ ）ABCD解析：ACD【分析】先计算出数列的前几项，判断AC，然后再寻找规律判断BD【详解】由题意，A正确，C正确；，数列是周期数列，周期为3，B错；，D正确故选：ACD【点睛】本题考查由数列的递推式求数列的项与和，解题关键是求出数列的前几项后归纳出数列的性质：周期性，然后利用周期函数的定义求解18已知递减的等差数列的前项和为，则（ ）AB最大CD解析：ABD【分析】转化条件为，进而可得，再结合等差数列的性质及前n项和公式逐项判断即可得解.【详解】因为，所以，即，因为数列递减，
10、所以，则，故A正确；所以最大，故B正确；所以，故C错误；所以，故D正确.故选：ABD.19记为等差数列的前n项和.已知，则（ ）ABCD解析：AD【分析】设等差数列的公差为，根据已知得，进而得，故，.【详解】解：设等差数列的公差为，因为所以根据等差数列前项和公式和通项公式得：，解方程组得：，所以，.故选：AD.20定义为数列的“优值”已知某数列的“优值”，前n项和为，则（ ）A数列为等差数列B数列为等比数列CD，成等差数列解析：AC【分析】由题意可知，即，则时，可求解出，易知是等差数列，则A正确，然后利用等差数列的前n项和公式求出，判断C，D的正误.【详解】解：由，得，所以时，得时，即时，当时
11、，由知，满足所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，故A正确，B错，所以，所以，故C正确，故D错，故选：AC【点睛】本题考查数列的新定义问题，考查数列通项公式的求解及前n项和的求解，难度一般.21在下列四个式子确定数列是等差数列的条件是（ ）A（，为常数，）；B（为常数，）；C；D的前项和（）.解析：AC【分析】直接利用等差数列的定义性质判断数列是否为等差数列【详解】A选项中（，为常数，），数列的关系式符合一次函数的形式，所以是等差数列，故正确，B选项中（为常数，），不符合从第二项起，相邻项的差为同一个常数，故错误；C选项中，对于数列符合等差中项的形式，所以是等差数列，故正确；D选项的前项和（
12、），不符合，所以不为等差数列故错误故选：AC【点睛】本题主要考查了等差数列的定义的应用，如何去判断数列为等差数列，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型22已知等差数列的前n项和为Sn（nN*），公差d0，S6=90，a7是a3与a9的等比中项，则下列选项正确的是（ ）Aa1=22Bd=2C当n=10或n=11时，Sn取得最大值D当Sn0时，n的最大值为21解析：BC【分析】分别运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A，B；由配方法，结合n为正整数，可判断C；由Sn0解不等式可判断D【详解】由公差，可得，即，由a7是a3与a9的等比中项，可得，即，化简
13、得，由解得，故A错，B对；由，可得或时，取最大值，C对；由Sn0，解得，可得的最大值为，D错；故选：BC【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题23无穷数列的前项和，其中，为实数，则（ ）A可能为等差数列B可能为等比数列C中一定存在连续三项构成等差数列D中一定存在连续三项构成等比数列解析：ABC【分析】由可求得的表达式，利用定义判定得出答案【详解】当时，当时，当时，上式所以若是等差数列，则所以当时，是等差数列， 时是等比数列；当时，从第二项开始是等差数列故选：A B C【点睛】本题只要考查等差数列前n项和与通项公式的关系，利用求通项公式，属于基础题24设等差数列的前项和为，公差为，且满足，则对描述正确的有（ ）A是唯一最小值B是最小值CD是最大值解析：CD【分析】根据等差数列中可得数列的公差，再根据二次函数的性质可知是最大值，同时可得，进而得到，即可得答案；【详解】，设，则点
