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1、第 7 章 随机解释变量单方程线性计量经济学模型假定解释变量是确定性变量，并且与随机误差项不相关，违 背这一基本假设的问题被称为随机解释变量问题。本章介绍了随机解释变量问题的概念、产 生的原因和后果、检验方法以及解决方法。7.1 随机解释变量问题的概念对于计量经济模型Y = B +B X +B X + + B X + u ,i = 1,2,n(7.1.1)i 01 1i 2 2ik ki i其中一个基本假设是解释变量X ,X ,X是确定性变量，即解释变量与随机扰动项1 2 k不相关。但是在现实经济生活中，这个假定不一定成立，这一方面是因为用于建模的经济变 量的观测值一般会存在观测误差，另一方面
2、是经济变量之间联系的普遍性使得解释变量可能 在一定程度上依赖于应变量，即解释变量X影响应变量Y，而应变量Y也会反过来影响解 释变量X。模型中如果存在一个或多个随机变量作为解释变量，就称为模型出现了随机解释变量问题。其中x可能与随机误差项u不相关，就是说，解释变量x, x ,x都是外生的，k1 2k-1但 x 有可能在方程(4.4.1)中是内生的，则称原模型存在随机解释变量问题。内生性可能源k自于省略误差、测量误差，联立性等 为讨论方便，我们假设(441)中X为随机解释变 2量。在模型(7丄)中，根据解释变量X与随机误差项的关系，可以分为三种类型：21) 随机解释变量与随机干扰项独立Cov (X
3、 , u) = E(x , u) = E (x ) E (u) = 02 2 2(7.1.2)具体详见Econometric analysis of cross section and panal data(Jeffrey Wooldrige,2007 )。2) 随机解释变量与随机干扰项同期无关但异期相关Cov(X , u ) = E(x , u ) = 0,i = 1,2,n2i i2i i(7.1.3)Cov(X , u ) = E(x , u )丰 0,i = 1,2,n2 i i-s2i i-s(7.1.4)3) 随机解释变量与随机干扰项同期相关Cov(X , u ) = E(x ,
4、u )丰 0,i = 1,2,口(7.1.5)2 i i2i i7.2 实际经济问题中的随机解释变量在许多经济现象中，自变量的非随机性假定有时是不符合实际的。因为， 许多经济变量是不能用控制的方法进行观测的，所以作为模型中的解释变量其取值就 不可能是确定的，而是随机的。 由于随机误差项中包含了模型中略去的解释变量，而略去的解释变量同模型中保留的 解释变量往往存在一定的相关关系。 在自回归模型中，因变量作为解释变量也必定是随机变量。因此，我们必须对模型中的解释变量为随机变量且与随机项相关的情形进行讨论。在 单方程计量经济学模型中，凡是外生变量都被认为是确定性的，于是随机解释变量问题主要 变现于用
5、滞后被解释变量作为模型的解释变量的情况。同时，由于经济活动具有连续性，使 得这类模型在以时间序列数据作样本的模型中占据较大份额。例如，消费不仅受收入的影响， 还受前期消费水平的影响。投资不仅受收入的影响，还受前期投资水平的影响。但是，并不 是所有包含滞后被解释变量的模型都会带来随机解释变量问题，下面通过几个例子来说明。耐用品的存量由前一个时期的存量和当期收入共同决定，于是著名的“耐用品存量调整模型”表示为Q = B+B I + P Q + u t = 1,2,3,n( 7.2.1)t01 t2 t-1t这是一个滞后被解释变量作为解释变量的自回归模型。但是如果模型中不存在随机误差项的序列相关性，
6、那么随机解释变量Q只与u相关，而与u不相关，属于上述的第 t -1t -1t一种情况。再如，在著名的“合理预期的消费函数模型”中，首先认为消费是由对收入的预期所 决定的，或者说消费是有计划的，而这个计划是根据对收入的预期制定的。于是有：7.2.2)C = P + P Ie + ut01 ttC=P + P Ie + ut -101 t -1t -1其中，Ie表示t期收入预期值，而预期收入与实际收入之间存在差距，用函数形式表 t现出来为：Ie = G-心 + 九Ie( 7.2.3)ttt -1该式是由合理预期理论给出来的，因此可以进一步推导出C 二 P +P (1 -九+ P 九Ie + ut0
7、1t 1 t-1t=P + P C 一九+ X(C - P - u )+ u01tt -10t -1t=P (1 一九)+P (1 一九+ 九C + u 一九u(724)01tt-1tt-1在该模型中，作为解释变量的C是一个随机解释变量，同时由于C与u高度相关， t -1t -1t -1所以它与模型(7.2.4 )中的随机误差项u -九u也高度相关。属于上述第三种类型。tt -17.3 随机解释变量的后果当模型存在随机解释变量时，如果仍采用普通最小二乘法估计模型参数，不同性质的 随机解释变量会产生不同的后果。对一元线性回归模型Y 二B +B X +ui 0 1 i i在前面得到如下最小二乘估计
8、量：(7.3.1)随机解释变量X与随机干扰项p的关系不同，参数OLS估计量的统计性质也会不同。7.3.1估计量的渐近特征如果一个变量是随机变量，它的精确抽样分布是很难找到的，只能是渐进结果。例如， 当线性回归模型满足最小二乘法的假定条件时，其参数的最小二乘估计量具有无偏性和有效 性。优势最小二乘估计量并不具有这种统计特征，但随着样本容量的增加却具有了这种特征。1) 渐近无偏性设&n是参数0的估计量，其中n为样本容量，设依次抽样的样本容量n分别为n n n0时，满足P| pn-P lv” 1n(7.3.4)称估计序列氏是卩的一致估计序列，即当样本容量n充分大时，仏值趋向于总体真 实值的概率接近于
9、1 ，记为PLim p = P(7.3.5)ns也可以简记为P lim p = p 综上所述，由数理统计的理论可知，要想建立一个一致性估计量，必须满足两个条件LimE(P鳥)=P 和 LimVar(p n) = 0nsns即估计量Pn具有渐近无偏性，并且当样本容量充分大时，Pn的方差趋近于0。3) 随机解释变量模型最小二乘估计量的统计特征随机解释变量X的OLS估计量可能出现下面三种情况(1) 如果X与随机误差项u相互独立，即E(X u ) = E(X )E(u ) = 0，得到的参数估i iii计量仍然是无偏一致估计量。由于工xu =工(-XW =工Xu -X工ui iiii ii因此则有E(
10、卩)+J国E(Xu )-X工E(u )=B(736)11 乙 X 2i ii 1i这说明片是P1的无偏估计量。同理可以证明化是P0的无偏估计量。(2 )如果X与p同期不相关，而异期相关，得到的参数估计量有偏，但却是一致的。由(7.3.1)易知E(B ) = B + E(工) = B + 工E(k u )( 7.3.7 )11乙 x 2 i 1i ii尽管X与u同期无关，但对任一的分母中一定包含不同期的X ;由异期相关性知k与 i iiu相关，导致E(B )丰B ,即参数估计量是有偏的。ii1但是P lim(B +ins工xuP lim(工nxu )iiP lim工 x 2)niB + Cov(
11、 X，U)1Var(X )i7.3.8)即在假定PLim1工 x2 丰0的情况下，分子项等于0,于是上式成立。这说明最小二ni乘估计量P1虽然是有偏的，但它是01的一致估计量。(3)如果随机解释变量X与随机误差项u同期相关，得到的参数估计量有偏且非一致。由于Cov(X , u L 0ii所以则有PLim 乙 X u = Cov(X，u )丰 0( 7.3.9 )ni ii iP lim1 工 X u - XP lim1 工 u即PlimP =0 + - H 卩(7310)1 1 1 1P lim 厶 x 2ni这说明最小二乘估计量片是有偏的，也不是01的一致估计量。同理也可以证明是有偏的，也不
12、是0 0的一致估计量。但是需要注意的是，如果模型中带有滞后被解释变量作为解释变量，则当该滞后被解 释变量与随机干扰项同期相关时，普通最小二乘估计量是有偏的且非一致的。即使同期无关， 其普通最小二乘估计量也是有偏的，因为此时肯定会出现异期相关。总之，在存在随机解释变量问题时，采用O LS法估计模型参数，得到的参数估计量在 小样本情况下是有偏的，在大样本情况下也不具有渐进无偏性，就有可能产生严重的误导结 果。7.4 随机解释变量的检验(内生性)随机解释变量的内生性检验在国内，暂时还很少提及，这里简单介绍下国外学者的主要检验方法之一一豪斯曼检验(Hausma n,1978)。举例说明，假定我们有单一
13、的被怀疑的内生变量y = B +B x + B z +B z + u(7.4.1)0 1 2 1 3 2其中，假定X是内生性变量，z , z是外生的。如果x与u不相关，我们应该用OLS12法估计(4420)模型。豪斯曼检验是直接比较OLS和2SLS的估计结果，判断其差异是否在 统计上显著。如果所有变量是外生的,OLS和2SLS都是一致性的；如果差异显著，就可以 断定x是内生的(zi, z 2保持外生性)。我们可以通过计算OLS和2OLS下的参数估计值来判断二者是否存在差异，但是这种 方法相对而言比较复杂，使用回归检验会更加容易尼是以估计x的诱导型为基础的。此时 诱导型是x =九 + 九 z + 九 z + 九 z + 九 z +v(7 4 2)0 1 1 2 2 3 3 4 4其中z , z是其他的外生变量，未出现在模型(4.4.20)中。此时，因为各个z与u不相3 4 i 关，所以X与v不相关
