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1、充要条件相关知识梳理 一、重、难点透视正确理解和判断充分条件、必要条件、充要条件和非充分非必要以及原命题、逆命题否命题、逆否命题的概念是本节的重点；掌握逻辑推理能力和语言互译能力，对充要条件概念本质的把握是本节的难点.二、知识网络构建逆命题q pq是p的充分条件逆否命题q是p的必要条件否命题p是q的必要条件原命题p q p是q的充分条件三、知识要点梳理 1对概念的理解：充分条件：对于命题“若p则q”为真时，即如果p成立，那么q一定成立，记作“”，称p为q的充分条件.意义是说条件p充分保证了结论q的成立，换句话说要使结论q成立，具备条件p就够了当然q成立还有其他充分条件.如，p是q成立的充分条件
2、，而也是q成立的充分条件.必要条件：如果q成立，那么p成立，即“”，或者如果p不成立，那么q一定不成立，也就是“若非p则非q”，记作 “”，这是就说条件p是q的必要条件，意思是说条件p是q成立的必须具备的条件.充要条件：如果既有“”，又有“”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“”.2从集合角度看概念：如果条件p和结论q的结果分别可用集合P、Q 表示，那么“”，相当于“”，即 P Q 或 P、Q即：要使xQ成立，只要xP就足够了有它就行.“”，相当于“”，即 Q P 或 P、Q即：为使xQ成立，必须要使xP缺它不行. “”，相当于“”，即 P 、Q即：互为充要的两
3、个条件刻画的是同一事物.3. 当命题“若p则q”为真时，可表示为，则我们称p为q的充分条件，q是p的必要条件.这里由，得出p为q的充分条件是容易理解的.但为什么说q是p的必要条件呢？事实上，与“”等价的逆否命题是“”.它的意义是：若q不成立，则p一定不成立.这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件.4“充要条件”的含义，实际上与初中所学的“等价于”的含义完全相同.也就是说，如果命题p等价于命题q，那么我们说命题p成立的充要条件是命题q成立；同时有命题q成立的充要条件是命题p成立.5. 对于多个条件的关系判定，可先译出各个条件的相互转化关系的结构图，再作判定.如，“q是r的必要条件
4、，p是q的必要条件，p是r的什么条件？”就可用结构图示法表示为“”即“”.四、方法点拨1.借助于集合知识加以判断，若，则P是Q的充分条件，Q是的P的必要条件；若，则P与Q互为充要条件.2.等价法：“”“”，即原命题和逆否命题是等价的；原命题的逆命题和原命题的否命题是等价的.3.对于充要条件的证明，一般有两种方法：其一，是用分类思想从充分性、必要性两种情况分别加以证明；其二，是逐步找出其成立的充要条件用“”联结.五、特别提醒 1.要注意充分条件和充分非必要条件的区别与联系，只要满足，就可以断定p是q的充分条件；若有，同时 ,才能说p是q的充分条件非必要条件.也就是说，充分非必要条件是充分条件的一
5、种特殊情形.同样地，必要条件和必要条件非充分条件亦有类似的关系.2. “充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”，“仅当”表示“必要”.如“一元二次方程有实数解的充要条件是”也可说为“一元二次方程有实数解，当且仅当”.3.要灵活应用原命题与原命题的逆否命题是等价的，即“”“”，来判断和证明问题，当直接直接判断或证明一个命题（特别是否定形式的命题）较为复杂时，我们应退一步考虑其逆否命题，常常可以收到意想不到的效果，如判断“是的什么条件？”，就应考虑其逆否命题“是的什么条件？”,显然是必要不充分条件. 六、高考透视充要条件主要是研究命题的条件与结论之间的逻辑关系，它是中学数学最重要的数学概念之一，它是今后的高中乃至大学数学推理学习的基础.在每年的高考中，都会考查此类问题.
