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1、导数的概念（第一课时）西安高新第一中学 程霖一、教材依据导数的概念是人民教育出版社出版的全日制普通高级中学教科书数学第三册（选修）第三章第一节的内容。二、设计思想教材分析：导数是微积分的重要部分，是从生产技术和自然科学的需要中产生的；同时，又促进了生产技术和自然科学的发展。它不但在天文、物理、工程技术中有着广泛的应用，而且在日常生活及经济领域也日渐显示出其重要的功能。本节内容分了四部分，一是过曲线上一点的切线的斜率；二是非匀速直线运动物体的瞬时速度；三是导数的定义；四是导数的几何意义。学习切线的斜率与瞬时速度是为了引出导数的概念，介绍导数的几何意义，是为了加深对导数概念的理解。学情分析：现有知
2、识储备（1）直线的斜率；（2）物体运动的速度；（3）函数的极限等现有能力特征具有一定归纳、概括、类比、抽象思维能力现有情感态度对导数这一新鲜的概念具有强烈求知欲和渴望探究的积极情感态度设计理念学生为本，重视思维发生的过程，重视数学概念的形成过程，激发学生的学习兴趣，有意识培养学生的学习毅力。让学生学习有趣的数学，学习有用的数学，充分体现数学的应用价值、思维价值和人文价值。三、教学目标1、知识与技能目标：通过两个实例的分析，经历导数概念的形成过程，了解导数概念的实际背景，从而掌握导数的概念。通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力并领悟极限思想。2、过程与方法目标：通过问题的探究体会逼近、
3、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。3、情感、态度与价值观目标：通过导数概念的学习，体验和认同“有限和无限对立统一”的辩证观点，接受用运动变化的辩证唯物主义思想处理数学问题的积极态度。四、教学重点导数的概念的形成过程。五、教学难点对导数概念的理解。重、难点突破措施：1、以情感人，以理醒人创设情境中：“二新”开题，扣人心弦；层层探究中：分三类探究，步步为营，丝丝入扣，形成概念。2、数形结合，古今结合传统的计算数据给学生提供了初步的感受和体验；现代的多媒体技术直观、形象展示切线、瞬时速度的形成过程，突破重难点。3、切合实际，分层提高利用分层训练和分层作业达到因材施教的效果。六、教学准
4、备计算器、多媒体电脑、课件等。七、教学过程结合可接受性和可操作性原则，把教学目标的落实融入到教学过程之中，通过演绎导数的形成,发展和应用过程，帮助学生主动建构导数的概念。概念导析自发探究自主探究引导探究探求、研究创设情境分层作业引导小结教学环节教学内容师生互动设计思路创设情景几何画板演示： 1、圆的切线：（1）与圆只有一个交点的直线（已学）；（2）割线的极限位置（复习引导） 2、奇怪的平均速度：在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）=4。9t 26。5t10。计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：（1）运动员在这段时间
5、里是静止的吗？（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？首先复习圆的切线的定义，再介绍从极限的角度如何看待切线，为导出切线的斜率创设情景。学生相互讨论运动员在这段时间内的平均速度为“0”这一奇怪现象，但我们知道运动员在这段时间内并没有“静止”。为什么会产生这样的情况呢？“二新”开题，扣人心弦（1）新视角切线：割线的极限位置。（2）新问题平均速度为“0”。引起学生的好奇，意识到平均速度只能粗略地描述物体在某段时间内的运动状态，为了能更精确地刻画物体运动，我们有必要研究某个时刻的速度即瞬时速度。学生带着问题走进课堂，激发学生求知欲。引导探究幻灯片： 探究一：对一般曲线如：在（3，1）
6、处的切线，能不能说与曲线只有一个交点的直线就是这条曲线的切线？学生探究、讨论，教师指导。类比探：呼应导入1，挑战原有认知激发学生学习兴趣。 探究二：当点Q沿曲线C无限趋近于点P时，割线与切线的关系如何？学生实验与教师课件演示结合。直观探：直观地从运动角度感受二者关系。 探究三：如何计算割线的斜率？学生利用计算器计算割线斜率，感受斜率变化规律。计算探：数字揭示割线斜率变化规律。 探究四：如何计算切线的斜率？学生讨论，交流，教师规范结论。初步启发、接触导数的概念。实质探：利用极限的思想，揭示切线的斜率的实质，为导出导数的概念做好铺垫。自主探究 任务一：感受平均速度的变化即当t取不同值时,尝试计算的
7、值？tt-0。10。1-0。010。01-0。0010。001-0。00010。0001-0。000010。00001。学生利用计算器，分组完成问题二。感受变化：学生对概念的认知需要借助大量的直观数据，进一步体会从平均速度出发，“以已知探求未知”的数学思想方法, 培养学生的动手操作能力。 任务二：当t趋于0时，平均速度有怎样的变化趋势？一方面分组讨论，展示计算结果，在t=2时刻,t趋于0时，平均速度趋于一个确定的值-13。1，即瞬时速度，体会逼近思想；另一方面借助动画多渠道地引导学生观察、分析、比较、归纳，为了表述方便,数学中用简洁的符号来表示,即搭建平台，自主交流：数形结合，扫清了学生的思维
8、障碍，更好地突破了教学的重难点，体验数学的简约美。 任务三：运动员在某个时刻的瞬时速度如何表示呢？引导学生继续思考:运动员在某个时刻的瞬时速度如何表示? 学生意识到将代替2,可类比得到揭示本质提高了他们的思维能力,体现了特殊到一般的思维方法。自发探究 核心探究，揭示导数概念：如果将这两个变化率问题中的函数用来表示，那么函数在处的瞬时变化率如何呢？在前面两个问题的铺垫下,进一步提出，我们这里研究的函数在处的瞬时变化率即在处的导数,记作(也可记为)抛砖引玉，水到渠成砖已抛，必引玉；水已到，渠必成。学生结合具体问题的实际意义,抽象得到导数定义,由浅入深、由易到难、由特殊到一般，完成了思维的飞跃；同时
9、提及导数产生的时代背景，让学生感受数学文化的熏陶，感受数学来源于生活，又服务于生活。例1： 讨论函数在点P（0，0）处切线的情况。师生共同完成。用具体函数的切线感受极限,加深学生对导数内涵的理解，体验数学在实际生活中的应用。 分层练习： B类：P109 1，2；P111 1，2 A类：已知一个物体运动的位移（m）与时间t（s）满足关系S（t）-2t2+5t（1）求物体第5秒和第6秒的瞬时速度。（2）求物体在t时刻的瞬时速度。（3）求物体t时刻运动的加速度，并判断物体作什么运动？学生分层独立完成。目的是让学生学会用数学的眼光去看待物理模型，建立各学科之间的联系，更深刻地把握事物变化的规律。归纳总
10、结、内化知识1、过曲线上一点的切线的斜率；2、非匀速直线运动物体的瞬时速度；3、导数的定义；4、思想方法：“以已知探求未知”、逼近、类比、从特殊到一般。学生小结，再由其他人补充，完善，教师调控。让学生自己小结，不仅仅总结知识更重要地是总结数学思想方法。这是一个重组知识的过程，是一个多维整合的过程，是一个高层次的自我认识过程，这样可帮助学生自行构建知识体系，理清知识脉络，养成良好的学习习惯。作业布置B类：教材第114页，第1，2，3题。A类：B类+补充。补充：已知y=x3 求 （1）；（2）x=0；（3）求曲线在（0，0）处的切线方程。作业是学生信息的反馈，能在作业中发现和弥补教学中的不足，同时
11、注重个体差异，因材施教。板书设计1.1.2导数的概念一、过曲线上一点的切线的斜率 例题二、非匀速直线运动物体的瞬时速度 小结三、导数的概念 作业八、教学反思1、“以学生为本”的教育观是教学设计的根本指导思想。学生通过“经历”，“体会”，“感受”，最后形成概念的过程学习，充分体现了学生为本的现代教育观；练习和作业的分层设计尽量满足多样化的学习需求做到因材施教。但在具体实施中，分寸的把握需视情况而定。2、在难点的突破上采取了有效的分解策略。（1）宏观上的三类探究符合学生认知规律；（2）微观上的4步探究有效分解、突破重难点；（3）情景贯穿始终，兴趣伴随学习；（4）充分利用现代多媒体技术，数形结合分解难点。3、形式和内容得到统一，具有很强的可操作性。 各类探究中，形式和内容和谐统一，教师指导及时、到位，具有很强的可操作性。
