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1、主要概念：1 位势涡度及无粘浅水流体的位势涡度守恒定律位势涡度：在旋转流体中，流体运动时存在着一个保守性或守恒性的较强的组合物理量，称/ + 20为位势涡度，且定义为()-vx =兀。P位势涡度的引入有两种方法：A.可以从涡度方程出发de- VpxVp 3涡度方程： a = e -Vu e V u +Vx dt aaPP影响涡度变化的因素可概括为：涡管的倾斜效应，涡管的伸缩效应，斜压性以及摩擦作用。位势涡度方程：d (巳)-vx =坐-VO + vx - VpxVp + vx (Vx 3)dt PPP 3PP因此，当满足以下三个条件时：1. 3 = 0摩擦可忽略2. X是守恒量，O = 03.
2、 x仅是P , p的函数，VX- (VpxVp) = 0，或流体是正压的则有d (ea) -VX = 0 Ertel涡旋定理(位涡守恒定理),位涡是dt Pe(a) - VX =兀。P浅水中引入守恒量x =zhBH则兀=C+ f ) k -V() = C+ f)hph故浅水位涡守恒豊鬻 =0B. 从浅水方程出发，按上述方法推导也可得出浅水位涡守恒2. 地转风和热成风地转风：在大尺度旋转流体运动中，其Rossby数的量级0(8)W10-1，在旋转流体水平运动过程中若略去0(10-1 )以上的量，流体则在科氏力和压强梯度力的作用下达到平衡，此时的 运动即为地转运动 ，此时的风为地转风。风沿等压线的
3、方向，在北半球高压在右。厂 1 L =k xVpPf热成风：地转风随高度的变化或为两个等压面之间地转风的差字 =f V Txkdppf pdud0dv 50又：c0 = 0，0 =0 热成风dzdydzdx3 Taylor-proudman 定理在均质或正压旋转流体中，流体准定常和缓慢的运动，其速度在沿的方向上将不改变。也就是说，均质或正压旋转流体，准定常和缓慢的运动，其速度将独立于旋转轴。的方向, 即运动将趋于两维化。4 地球上流体大尺度运动UU大尺度运动的定义：R =102 L fL物理意义：流体相对运动的时间尺度大于地球自转周期，流体在其运动的时间尺度内几 乎感不到地球的自转。也就是说，
4、大尺度大气与海洋运动正是他们相对于地球运动的一 个小偏差。惯性力/科氏力一旋转时间尺度/平流时间尺度一相对涡度/牵连涡度一相对速度/牵 连速度至1Rossby 数反映了各种动力学特征量与其相应旋转作用的比较。5 Brunt-Vaisala 频率地球流体是具有层结结构的层结流体。由于受扰抬升或下降的流体元在上升或下降时，其密度按一定的规律随高度变化，而四周环境流体的密度是按层结分布随高度变化的。因此，流体元绝热地位移到新高度的时候，这一流体元本身的密度与环境密度差异将促使其产生振一一一(z d0) 2荡运动，又称为浮力振荡，其频率为N三TT-，称作Brunt-Vasala频率。其中，z为I0 d
5、z 丿高度坐标，6是位温。Brunt-Vasala频率为流体层结稳定或静力稳定的稳定度判据。d0/dz 0时，层结是稳定的；当d0 dZ 0时，为不稳定层结。6 均质流体和层结流体(三种情况下)的准地转位势涡度方程虽=(|Ui + |Vi)0 I yIxI y均质流体的准地转涡度方程：孚=学 + u 事 + vdt It 0 Ix相应的流函数形式位涡方程：It+雲匚雲匚竺+学i a P a+(s) + py 0ax ay ay ax ax2 ay 2P az s azs海洋中天气尺度的准地转位涡方程：-耳 + ws二田dt1無 +卩y-?(匕)2?(竺)dt 0Iz sIz s0+ Py Iz
6、 (W0 无加热aa aaaaiaatax ayayaxazsazcc ，f207 Rossby 变形半径 是一个与波动本身性质无关、只与流体深度和地球旋转有关的特征参数。(1) Poincare波：在旋转特征周期(2Q)-1这一时间尺度上，波速为c -暑珂 的浅水重力波传播的特征距离。( 2) Kelvin 波：在边界处，波振幅取最大值，从边界向内区过渡，振幅呈指数减小。振幅3衰减的e-折尺度为R三c=0。可将Rossby变形半径理解为个特征距离尺度，在这个距离尺度上，科氏力使自由面变形的趋势与重力（或压强梯度力）使自由面复原的趋势相平 衡。d（3）准地转位涡守恒方程：匚-Fn +n 二od
7、t 0 0 B准地转近似下的无量纲的位涡为：兀=匚-Fn +ng 0 0 BV2n和Fn两项比较看F = （）2:00RF 1，V2n项可忽略，比Rossby半径大的水平尺度运动o（l）量级上的相对涡度是次 要的。因此, Rossby 波半径又可解释为这样一个特征距离尺度,在此距离上,相对涡度和表面 高度起伏对位势涡度有同等重要的贡献。8 Rossby 数, Ekman 数,雷诺数, Froude 数（旋转/层结）UUR0 2QL = ff惯性力/科氏力f旋转时间尺度/平流时间尺度f相对涡度/牵连涡度f相对速度/牵 连速度至1Rossby 数反映了各种动力学特征量与其相应旋转作用的比较。Ekm
8、an 数：E =fUuU / Lu,表示分子粘性力和科氏力之比的无量纲参数。垂直 Ekman 数: E=哈2(Re)yA水平 Ekman 数：E” = 2h=2s=(RTeH雷诺数:R = U / LeAHA 为垂直湍流粘性系数。 H(R )evDU2“ r为垂直涡粘性的雷诺数；（R ） KLveHUL为水平涡粘性的雷诺数。KvFroude 数（旋转）：定义n* = N0n，N0 =fULU f 2 L2=s FD , F = f2L2 g fL ggDF是表征运动的水平尺度L相对于Rossby变形半径R的大小的一个参数。层结：N2D2s = sf 2 L20N D = (g D)1；f f0
9、 0L D 为内 Rossby 变形半径。=卩2ol6AK 2 + F 6y由此可见振幅为的传播速度： cgxP (k 2 12 F) = 6o _K2 +F 莎cgyPklK 2 + F6oIT =ci + c j，g gx gydA以速度cg移动的观察者(因为玄=0)所看到的振幅为常数，将此速g 60其中，g为简化重力(g = D s )0 6zs*9 群速度在简化条件卩 1下，由线性化准地转位涡守恒方程:6qOV2 - F + B= 0 和波动的表达式0 = A(x,y,t)cos(kx +ly ot)6t6x可以得到精确到最低阶的 Rossby 波频散关系： 以及反映振幅变化的方程：I
10、AKk+ |A6t K ； + F 6x度定义为群速度：c =V o =V (kc) = c + K c = c + K c ( C丰C时为频散波)。 gkkKkkg10共振三波组对于非线性准地转位涡 方程(无量纲)：66 66 66(V 2 F) + - (V 2) (V 2) + P = 0 6t6x 6y6y 6x6x卩=p0 U 1 o Rossby波的特征周期远远地小于质点运动的平流时间尺度。 L 令t = (p L)-11 = t ( t为新的无量纲时间变量)*0Ut = PtP L20UP 1时，为无量纲快变量，其特征值(P 0L)1要小些t为无量纲慢变量，其特征值(：)要大些无
11、量纲位涡方程则要求表示为：d(V2申F 申)+ctCx1C申 c P Cy Cxc申c Cx Cy(V 2 申)显然非线性项的量纲为：P-1，是否忽略非线性作用的条件是由P决定。 求解方法是利用对小参数(丄)的摄动展开。P令申(x,y,卩)=申(x, y,) + 申(x, y,) +申(x, y,) +.0P 1P 2 2CCe得: (P-1)(0)：吞(V20-恥IT二是一个线性方程kZ-k2 +l2 + Fjj其解可表示为平面波的线性叠加申二工a cos0 j j j0 = k x +1 y cy t + a ， cj j j j j(P -1)(1) : 略(2。 5-2。 54)此式说
12、明了第m个波和第n个波相互作用产生了关于e方程的强迫项，此强迫项也是一个 1周期作用，其波矢为：K = K 土 K ；频率w =c cmn m n mn m n通过数学处理，可得强迫振荡e的振幅：1a a B(K ,K )A =m_nm n1mn (K 2 + F)( -c )mnmnmn明确：c 是e方程的固有频率； 是强迫项的频率；K 是强迫项的波矢mnmnmnB(k , k )二丄(K - K )Z - (K x K )m n 4 m nn m这意味着在强迫作用下出现了第三种波动，且满足：k + kmn(k + k )2 + (1 +1 )2 + Fm nmnkkW = mnmn k 2 + 1 2 + F k 2 + 1 2 + Fmmnn当c与3无限接近时，会出现共振。 mn mn非线性问题的解(精确到1)：e=e+ (p)a o0 P1 mn0 +0 )二e + a o 0 +0 )m n 01 mnm n何时才会发生共振呢？第三个波相-0+0j m n则要求：k + k + k 0 , l +1 +1 0 , O (k , l ) + O (k , l ) + (k , l ) 0j m n j m n j j j m m m n n n 即：三个波矢之和为零。kkk第三个条件可写为：m + n + j 0k 2 + l
