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1、任意角的三角函数课型：新授课课时：1 课时教材分析本节课是三角函数这一章里非常重要的一节课，它是本章的基础，主要是从 通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角 的三角函数的定义。三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模 型，在数学和其他领域中具有重要的作用。我们要借助单位圆去理解任意角的三 角函数（正弦、余弦、正切）的定义，为后面的学习做好准备。在本模块中，学 生将通过实例学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有变化规律的 问题中的作用。教学目标1、知识与技能：掌握任意角的三角函数的定义；已知角a终边上一点，会求角a的各三角函 数值；记住三角函
2、数的定义域、值域，诱导公式（一）。2、过程与方法：理解并掌握任意角的三角函数的定义；树立映射观点，正确理解三角函数是 以实数为自变量的函数；通过对定义域，三角函数值的符号，诱导公式一的推导， 提高学生分析、探究、解决问题的能力。3、情感态度与价值观：使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函 数值）的一种联系方式；学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学 精神。教学重难点 重点：三角函数的定义；三角函数的定义域及其确定方法；三角函数值在各个象 限内的符号以及诱导公式一难点：任意角正弦、余弦、正切的定义教学过程、复习引入思考：我们已经学过锐角三角函数，知道它们都
3、是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数，你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?图1结论：在RtAABC中，设A对边为a, B对边为b, C对边为c,锐角A的正弦,sinA = , cosA = , tanA =余弦，正切依次为：ccb。锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。思考1:角推广后，这样的三角函数的定义不再适用，我们必须对三角函数重新定义。你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?如图，设锐角a的顶点与原点0重合,始边与x轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限在a的终边上任取一点P(a,b)，它与原点的距离r = a2 + b2 0过
4、P作x轴的垂线,垂足为M ,则线段0M的长度为a，线段MP的长度为b . MP bsin a = =OP r ；OM acos a =OP r ；MP btan a =OM a思考2：对于确定的角这三个比值是否会随点P在的终边上的位置的改变而改变呢？为什么?根据相似三角形的知识，对于确定的角a，三个比值不以点P在a的终边上的位置的改变而改变大小.我们可以将点P取在使线段0P的长r = 1的特殊位置上,Y呼)OaJM 丿 A(1,0)这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数:. MP 1OMMPsin a = b cos a = a tan a =OP ；OP ；OM a单位圆:在
5、直角坐标系中，我们称以原点0为圆心，以单位长度为半径的圆称 为单位圆.上述P点就是a的终边与单位圆的交点，锐角a的三角函数可以用单位圆 上点的坐标表示.二、新课讲授1. 任意角的三角函数的定义结合上述锐角a的三角函数值的求法，我们应如何求解任意角的三角函数值 呢? 显然，我们可以利用单位圆来定义任意角的三角函数.如图，设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (兀y),那么：x(1) y叫做a的正弦，记做sina，即Sina = y ；2x叫做a的正切，记做tan ax叫做a的余弦，记做cosa ,即COSa = x ；ytan a = 一 (x 丰 0)x思考 3:在上述三角函数定义中，自
6、变量是什么?对应关系有什么特点，函数值是什么?说明:(1)当兀a = + k兀(k e Z)时，a的终边在y轴上，终边上任意一点的横坐标xtan a =都等于0，所以x无意义，除此情况外，对于确定的值a，上述三各值都是唯一确定的实数.(2) 当a是锐角时，此定义与初中定义相同；当a不是锐角时，也能够找出 三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点P(x,y), 从而就必然能够最终算出三角函数值.(3) 正弦，余弦，正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值 为函数值的函数，我们将这种函数统称为三角函数.2. 利用定义求角的三角函数值5兀例1求丁的正弦，余弦和正切
7、值.ZAOB=ZAOB的终边与单位圆的交点坐标为（2，所以解：在直角坐标系中，作3 ,JlTJlT.5兀35兀 15兀sm= ，cos = , tan=73323235兀7兀思考：如果将了变为6呢？例2.已知角J的终边过点po（一3，一4），求角J的正弦，余弦和正切值.思考1：如何根据例题1解答思考2： 一般的，设角a终边上任意一点的坐标为（x,y），它与原点的距离为r. yxysm a = ,cos a = , tan a =则 rrx，你能自己给出证明吗？思考3：如果将题目中的坐标改为（-3a, -4a）,题目又应该怎么做？3. 三角函数的定义域和函数值符号SLiyy, ceca探究：请根
8、据上述任意角的三角函数定义，先将正弦，余弦和正切函数在弧度制 下的定义域填入下表，再将这三种函数的值再各象限的符号填入下表函数y = sin ay = cosay = tan a定义域RR兀a |a + k兀,k e Zy例3,求证：当下列不等式组成立时，角a为第三象限角，反之也对sin a 0证明：如果sina 0，所以角a的终边可能位于第一或第三象限 所以，角a的终边只能位于第三象限，时第三象限角 反过来，请同学们自己证明变式训练判断下列各式的符号1. sin3400 -cos265o 2. sin4-tan（-23上）；4求函数y二扁而+tan a的定义域4. 诱导公式一由三角函数的定义
9、，可以知道，终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到一组公式sin(a + k - 2兀)=sin acos(a + k - 2兀)=cos atan(a + k - 2兀)=tan a利用公式一，可以把任意角的三角函数值，转化为求0到2兀的三角函数值例4.确定下列三角函数值的符号：1) cos 25002）sin(号3) tan( -6720 )(4) tan3 兀变式训练：求下列各式的值25兀/ 15兀、cos+ tan(-)(1)342）sin 4200 cos 7500 + sin(-6900 )cos( -6600)三、课堂小结任意角的三角函数的定义；三角函数的定义域及三角函数值的符号；诱导公式（一）A 组 1、2B 组 1、2四、作业 P106习题5.3五、板书设计（略） 教学反思：教学中注意用新课程理念处理教材，采用学生自主探索、动手实践、 合作交流、阅读自学，师生互动，教师发挥组织者、引导者、合作者的作用，引 导学生主体参与、揭示本质、经历过程。
