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1、 信道及其容量研究内容： 根据数学模型研究信道的传信能力； 信道容量的计算。一、信道定义及其分类 1信道定义 狭义信道和广义信道 2信道分类 离散信道，数字信道； 连续信道，模拟信道；输入输出为连续变量； 半连续信道；如输入离散输出连续信道； 有记忆信道； 无记忆信道； 两端信道（两用户）； 多端（多用户）信道； 恒参信道和随参信道； 对称信道和非对称信道。二、离散无记忆信道及其容量 1离散信道 输入：X=0，1，K-1，概率分布：Qk, 输入字母序列：，1 输出：Y=0，1，J-1，输出字母序列：， 1， 转移概率：P(y/x)=P(y1,y2,yN/ x1,x2,xN) 2.离散无记忆信道
2、DMC 若离散信道对任意长为N的输入和输出序列有：P(y/x)=则称它为离散无记忆信道。记为DMC，X,P(yn/xn),Y。特点：任何时刻信道输出只与该时刻信道输入有关，而与以前的输入无关。3平稳离散无记忆信道（恒参） 特点：P(yn=j/xn=k)=P(ym=j/xm=k) 4. DMC容量 信道容量定义：C=I(X;Y),Qk为最佳分布。三、几个定理 1设QN(x)时DMC的N长输入字母序列的联合分布，XN和YN分别表示长为N的输入和输出序列的集合，Xn和Yn分别表示第n个输入和输出字母的空间，则 I(XN; YN)2. 输入概率矢量Q=Q0,Q1,QK 达到转移概率为P(j/k)的DM
3、C的容量C的充要条件是 I(x=k；Y)=C 对所有k,其Qk0 I(x=k；Y) C 对所有k,其Qk=0其中I(x=k；Y)是信道输入x=k时，关于信道输出一个字母的平均互信息，即 I(x=k；Y)=四、几个定义 1若信道转移概率矩阵P中所有行失都是第一行的一种置换就称信道关于输入为对称的。 H(Y/X)=H(Y/x)=- 2. 若信道转移矩阵P中所有列都是第一列的一种置换，就称信道关于输出为对称的。此时：输入事件等概时，即Qk=1/k, 则有：j=1/J,=K/J. 3. 准对称信道 设信道输出集Y可划分为若干子集，且各子集所对应的信道转移概率矩阵P中的列所组成的子阵有下述性质：（1）
4、各行都是第一行的置换。（2） 各列都是第一列的置换。4对称信道 信道关于输入和输出都是对称时，则是对称信道。J=K五、特殊信道容量的计算 1实现准对称信道DMC信道容量的输入分不为等概分布。 C=logJ+六、信道组合1分析信道组合的意义： 工程实际中常有两个以上的信道组合运用的情况，如多个信道并行传送信号，中继传输等； 复杂信道可分解为若干简单信道进行分析，以便简化信道 容量的计算。2组合信道的定义设：两个相互独立的信道为信道1、信道2。 信道1：输入和输出空间为X1和Y1，X1=a1,a2,aK , Y1=b1,b2,bJ输入概率分布：Qk 转移概率分布：p(j/k) 输出概率分布：j 信
5、道容量：C1=I(X1;Y1) = 信道2：输入和输出空间为X2和Y2，X2= , Y2=输入概率分布： 转移概率分布：p() 输出概率分布： 信道容量：C2=I(X2;Y2) = 则有：（1） 积信道或独立并行信道P 信道1和信道2同时传送信息；对于组合信道来说： 输入为有序对（k,），记为X=X1X2， 输出为有序对（j,），记为Y=Y1Y2， 转移概率为：p(j/ k)=p(j/ k) p(/ ) 积信道的容量计算：C=C1+C2 证明：根据互信息量定义和两信道独立进行，自学。推广：C= C1+C2+CN （2）和信道或并信道P1+P2 单位时间内义概率p1选用信道1,以概率p2选用信道
6、2，且p1+p2=1，则该组合信道称为和信道或并信道 和信道的互信息量计算： I(X;Y)=+ =p1+ p2 - p1log p1- p2log p2 =I(X1;Y1) p1+ I(X2;Y2) p1+H(P) 和信道的容量计算：2C=+ C=log2+ 证明：C=I(X;Y) =I(X1;Y1) p1+ I(X2;Y2) p2+H(P) = p1C1+ p2 C2+H(P) 令=0，由于有p2=1- p1 有：= C1- C2-logp1+logp2=0 C1 -logp1 = C2- logp2= p1 =, p2 = 根据： p1+ p2=1=log+ 由此求出p1和 p2，带入上式
7、可得：C=,得证。 推广：C=log （3）串行信道或级连信道 信道1的输出作为信道2的输入，组合信道的输入为X1,输出为Y2。 特点：信道1的输出集等于信道2的输入集； 转移概率：p()=六、一般DMC容量的计算 1已知条件：信道转移概率矩阵为非奇异方阵（K=J），p(k/j)求解：满足I(X;Y)为最大值的输入分布Qk，最大值C;求解方法：（1）设输入字母的概率为Qk0，各字母的接收概率为j，有： j=，j=0,1,K-1 （2）根据定理4.2.2：输入概率矢量Q=Q0,Q1, ,QK达到转移概率为p(j/k)的DMC的容量C的充要条件是： I(x=k;Y)=C 对所有k，其Qk0 I(x
8、=k;Y)C 对所有k，其Qk=0 则有：I(x=k;Y)=C，其中：k=0,1, ,K-1，得：，k=0,1, ,K-1上式的未知量有：C, j，j=0,1,K-1；可看作：j=C+logj，j=0,1,K-1共K个未知量； （3）根据转移概率矩阵为非奇异，上述方程组有唯一解j。 而：j=，且=1， 得：1= 解出：C=log （4）求出C后，须根据C求出所有的j和Qk，验证Qk是否概率矢量。即是否正确解。 2若Qk不是概率矢量，则C为非正确解，此时应令某个Qk为0，根据上述思路建立方程组（Jk，转移概率矩阵为奇异矩阵），该方程组可能有多个解，找出其中的正确解。 3当按第五步无解时，责令某些Qk为0，重新求解。七、DMC容量的迭代算法（自学）八、离散有记忆信道的容量（不作要求）九、时间离散的无记忆连续信道 1定义：输入集X=(x1,x2,xN) ,输出集Y=(y1,y2,yN),且输入集和输出集中各取值连续，当p(X/Y)=时，称该信道为时间离散的无记忆连续信道。其中p(X/Y)为信道转移概率矩阵。当=时，为平稳或恒参信道。 2. 根据离散信道知识，有： I(XN;YN)NC 由此不等式，将时间离散的无记忆连续信道转化为单位时间段上输入、输出、干扰的研究。 38
