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1、弹性力学网上辅导 3平面问题的基本理论一、两类平面问题1. 平面应力问题。这类问题的条件是：弹性体是多厚度的薄板 ,体力、面力和约束都只有 xy 平面内的量，都不沿 Z 向变化；并且面力和约束只作用于板边，在板面上没有任 何面力和约束的作用。平面应力问题特征是：由于板面上无面力和约束作用，以及薄板很薄，可以得出（o z, T zx和 T xy）=0 （在平面域A内）。因此，只有J x，o y，T xy三个平面内的应力分量。由于物体形状和外力、约束沿z向均不变化，因此应力分量只是X，y两 变量的函数。以后还可从物理方程得出，应变分量也只是X，y的函数；而从几 何方程积分求位移可见，位移与 Z 有
2、关。归纳起来讲，所谓平面应力问题，就是只有平面应力分量（O x，o y和T xy）存在，且仅为X，y的函数的弹性力学问题。例如，厚度较薄的浅梁和深梁, 受上部荷载及自重的墙，以及有分缝的重力坝等，都属于平面应力问题，凡是符 合上述这两点的问题，均属于平面应力问题。2. 平面应变问题这类问题的条件是：弹性体为常截面的很长柱体，体力、面力和约束条件与 平面应力问题相似，只有xy平面内的体力、面力和约束的作用，且都不沿z向 变化。这个问题可以简化为平面应变问题。平面应变问题特征是：假想柱体为无限长时，则任一截面（z面）都是对称面，于是3=0,只有 平面位移分量u和v存在，因此，此问题可称为平面位移问
3、题；同样由于对称性, z =0和Y zx，Y zy=0 （相应的T zx，和T zy=0），只有平面应变分量 x，y, T xy 存在，所以此问题又称为平面应变问题。由于截面形状、体力、面力及约束沿z向均不变，因此，它们只是X，y 的函数。由此可见，所谓平面应变问题，就是只有平面应变分量（ z , y和Txy,）存在，且仅为x, y的函数的弹性力学问题。进而可认为，凡是符合这两点 的问题，也都属于平面应变问题。二、平衡微分方程平衡微分方程表示区域内任一点（x, y）的微分体的平衡条件。当物体处于 静止或匀速直线运动时，作用于整个物体，任一有限部分和任一微分体上的力都 应该是平衡的。平面问题应有
4、三个平衡条件，即工Mc=0，工Fx=0和工Fy = O,由此得出平衡微分方程对于上述平衡微分方程，我们应强调说明几点：1. 平衡微分方程表示任一点（x，y）的平衡条件，（x，y）属于平面域A,以也代表A中所有点的平衡条件。2. 公式（2-2）第一式中所有的各项都是x向的力，第二式均是y向的力。3在导出平衡微分方程时，应用了两个基本假定：一是连续性假定，由此 应力等可以用连续函数来表示。二是小变形假定，我们可以用变形前的微分体尺 寸代替变形后的尺寸。4对于平面应力问题和平面应变问题，平衡微分方程相同。我们再比较一下几门力学是如何考虑平衡条件的：理论力学考虑整体的平 衡，只能用来确定物体是运动还是
5、静止的状态；材料力学考虑的是有限部分的平 衡；而弹性力学考虑的是微分体的平衡。我们可以看出：每一个微分体的平衡， 必然保证有限部分和整体的平衡，而反之则不成立。因此，弹性力学对平衡条件 的考虑是严格和精确的。三、几何方程几何方程表示任一点的微分线段上形变分量与位移分量之间的关系式。注意 几何方程也是从微分角度导出的，因为这样导出的结果才是精确的。在导出公式时，我们同样应用了两个基本假定连续性和小变形假定。几 何方程适用的条件，同平衡微分方程一样，只要满足连续性和小变形假定就行。 所以，平衡微分方程和几何方程适用的范围比较广。四、物理方程物理方程表示应力分量和形变分量之间的物理关系式。在理想弹性
6、体（满足 连续性、完全弹性、均匀性和各向同性）的条件下，物理方程就是材料力学中学 过的胡克定律表达式，其中包含两个独立的弹性常数。胡克定律不是从理论上导 出的，而是通过试验总结出来的规律。其中正应力只与线应变有关，切应力只与 切应变有关。从宏观试验得出的物理方程，当然可以用于微分体上的应力和应变 之间的关系。物理方程有两种形式：1. x=f（6 ）,此式是应变用应力表示，其中应力取为基本未知函数， 用于按应力求解。2、6 =f（ ）,此式是应力用应变表示，而应变又可以通过几何方程用位移表示，因此用于按位移求解。五、边界条件边界条件表示在边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。位移边界条件:
7、一般地讲，约束位移分量沿s上各点不一定相同，是s的函数。上式要求在 s 上任一点，位移分量必须等于对应的约束位移分量，这就是弹性力学中的位移 边界条件。应力边界条件是：对于应力边界条件，需强调几点；1 应力边界条件表示边界So上任一点的应力和面力之间的关系式，在S a上每一点都应满足。2. 边界条件只能应用于边界上，因此，必须将边界线s的方程代入应力边 界条件的表达式中。3. 注意中应力边界条件的表达式中面力、应力都有不同的正负符号规定， 且分别作用于通过边界点的不同的面上。对于应力边界条件，我们可以采用两种表达方式：1. 在边界点取出一个微分体，考虑其平衡条件，便可得出应力边界条件的 表达式
8、。2. 在同一边界面上，应力分量应等于对应的面力分量（数值相同，方向一 致）。由于面力的数值和方向是给定的，因此，在同一边界面上，应力的数值应 等于对应的面力的数值，而面力的方向就是应力的方向。六、按位移求解平面问题平面问题中共有 8 个未知函数（3 个应力分量，3 个形变分量和 2 个位移分 量），它们必须满足区域 A 内的平衡微分方程、几何方程和物理方程，以及在边 界上的应力或位移边界条件。为了求解方便，可以采用消元法进行求解。位移法（按位移求解的方法）： 是取位移分量为基本本知函数，从方程和边界条件中消去应力和形变分量， 导出只含位移分量的方程和边界条件。并由此解出位移分量，再求出形变分
9、量和 应力分量。平面应力问题按位移求解的方法，就是要使位移分量u, v满足区域A内 的平衡微分方程，并在边界上满足So上应力边界条件和Su上的位移边界条件。 求出位移分量后，可求出形变分量和应力分量。七、按应力求解平面问题 应力法（按应力求解的方法）是取应力分量为基本未知函数，从方程和边界条件中消去位移和形变分量，导出只含应力分量的方程和边界条件，并由此解 出应力分量，再求出形变分量和位移分量。按应力来解平面应力问题时，应力分量O x, o y和T xy必须满足下列条件：1在区域A内的平衡微分方程。2在区域A内的相容方程。3在边界上的应力边界条件， 其中假设只求解全部为应力边界条件的问题。4对
10、于多连体，还须考虑位移的单值条件。八、常体力情况下的简化在常体力情况下，按应力求解可进一步简化为按应力函数求解。0必须满 足下列全部条件：（1）相容方程40 = 0。（2）应力边界条件（假设全部为应力边界条件， S=So ）(3) 若为多连体，还须满足位移单值条件。求出应力函数e后，便可以求出应力分量。例 1 ：试考虑下列平面问题的应变分量有否可能存在(a) = Axy, = By3,y = C一Dy2xyxy(b) = Ay2, = Bxy2,y =Cxyxyxy( C) = = 0, y = Cxyx yxy解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即)y23x2 xdy(a) 相容；
11、(b) 须满足 8 = 0, 2A = C；(c) 不相容o 只有 C = 0,则 ex = e, = 0o例 2：如图所示矩形截面的柱体受到顶部的集中力和力矩的作用， 不计体 力，试用应力函数e =Ay2+Bxy+Cxy3+Dy3求解其应力分量。（3分）（3分）应用上述应力函数求解:（1）代入相容方程，二0,满足。（2）求应力分量，在无体力下，得= 4 + 6 Cxy + 6 Dy,(Ty = 0 9%= 一(3少)。考察边界条件。在主要边界（y）,（2分）y = y. 巧二0, 满足； 在次要边界x =0,(4分)rb/2I (ax)x = ()dy 二-F, (Ay + 3 Dy2) J -b/2F/2(6)%=oydy 二-M,J - b/2b/2=-F,得 A-b/2“ 22巧）二一 M,得Q二-b/22MCb/2J - b/2b/2-(By Cv3)二-F,得-b/2
