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1、数学与应用数学学年论文题目 几个正项级数敛散性的判别法的强弱比较学号姓名教师评语：成 绩指导教师摘要：级数理论在实际生活中的运用极为广泛，正项级数又是级数理论中重要的组成部 分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项 级数收敛性判断，正项级数敛散性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，归纳 总结正项级数收敛性判断的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型的正 项级数，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，才能事半功倍. 我们在 书上已经学了很多种正项级数敛散性的判定定理,但书上往往只是对定理本身做一个证明， 然后举几个简单
2、应用的例子就好了，没有做过多的分析.但是,我们在实际做题目时，常会有 这些感觉：有时不知该选用哪种方法比较好；有时用这种或那种方法时，根本做不出来，也 就是说，定理它本身存在着一些局限性.因此，我们便会去想，我们常用的这些定理到底有 哪些局限呢，定理与定理之间会有些什么联系和区别呢，做题目时如何才能更好得去运用这 些定理呢?下面就对正项级数的各种判别法强弱比较进行了讨论与分析。1 正项级数相关概念1.1 正项级数的定义如果级数兰x的各项都是非负实数，即X 0,n二1,2,则称此级数为正项nnn=1级数1.2正项级数敛散性判别的充要条件正项级数的每一项都为正的基本特点导致正项级数部分和数列单调增
3、加,从 而有正项级数敛散性的基本判别定理:定理：正项级数兰u收敛o它的部分和数列 有上界.nnn1证明 由于u 0(i 1,2,)，所以s 是递增数列而单调数列收敛的充要inn2条件是该数列有界(单调有界定理)，从而本定理得证.是正项级数。它的部分和数列的通项例级数习丄InI nn (n 1)(n +1)n2 Lk2Sn=m 占 - 1)(k + 1) 0,3N g N , Vn N, Vp g N,有 |u+ u + u+n+1n+2n+ pnns取特殊的p = 1,可得推论:若级数u收敛，则iimu = o n n=1nns定理：该推论的逆否命题:若limu H 0，则级数无u发散. nn
4、=1快速判断级数h的敛散性.5n2 + 1n=1解：由于lim=H 0，从而根据定理2可知,该级数发散.5n2 +15如果limu H 0，则可由该逆否命题直接可以判别出该级数发散 ；如果nnslimu = 0，则不能判断级数是否收敛，因为存在级数满足limu = 0的发散级数,nnnsns如 1 ；也存在级数满足limu = 0的收敛级数，如丄显然该逆否命题只使 nn=1用于满足 limu Hnns22 比较判别法imunnsn2n=10的发散级数.定理（比较判别法）:有两个正项级数un=1与 IE v，且 3N g N +, Vn N , nn=1有u cv ,c是正常数.nn1）若级数v
5、收敛,则级数unn n =1n =1也收敛;2）若级数区u发散,则级数区v也发散比较判别法的极限形式：有两个正项级数另u与区v (v丰0)，且 n n nn=1n=1ulim ns V(0 k +s).1) 若级数区v收敛，且0 k , 则级数区也收敛；nnn=1n=12) 若级数另v发散，且0 k +8，则级数另也发散.nnn=1n=1活用比较判别法(1) 当所求级数的通项中出现关于n的有理式时，比较对象常常选取p-级数或调和级数.例1判别级数区一1一的敛散性.n(n + 1)n=1解：因为一1一 0 时，sin x x，则 sin ,2n sin 2n -= ()n兀,而3 n 3 n3
6、n3 n3艺(2)n兀是公比I q 1= - 0），存在常数q .nnn=11)若3N e N +, Vn N，有%匸 q 1,则级数另u发散.nnn=1证明 1 ）已知3N e N , Vn N,有:百 q或u qn 又已知几何级数 +* nnqn（0 q 1或 nnn=0n=1nn=1u 1，即u不趋近于0（ n tQ，于是级数u发散. nn1）当 l 1时，级数u发散.n n =1活用柯西判别法例1判别级数为（启）n的敛散性.n=1解：由于 lim Ju = lim (-)nV 2 + 1-tsnts =lim nts 2n + 11=21，所以根据柯西判别法的推论知,级数另乂发散.3l
7、nnn=124达朗贝尔判别法（比值判别法）定理（达朗贝尔判别法）：有正项级数 u （u 0），存在常数q. nnn=11）若3N e N十,Vn N，有J q N，有4 1，则级数u发散.Unnn=1比值判别法的极限形式：有正项级数 u (u 0)，且limU+i = l.ns Unnnn=11） 当 l 1时，级数unn=1发散.活用达朗贝尔判别法例1判别级数昱的敛散性.nnn=1=lim( i)ns n 十 1U _（n 十 1）!lim n+1 = lim ns Un ns据达朗贝尔判别法的推论知，级数工也收敛.nnn=1解: 由于=lim1(l + 丄)n =1 1，根据达朗贝尔判别法
8、 ns n 十 1的推论知，级数 发散.n5n=125 积分判别法定理(积分判别法)：设f为1,+刈上非负减函数，那么正项级数工f (n)与反常积分同时收敛或同时发散.活用积分判别法例1判别级数艺丄的敛散性.n3n=1解：将原级数艺丄换成积分形式卜丄dx ,由于n31 x3n=1=lim (-) - (- ) = 0 +=，即卜dx收敛，根据积分pT+82P22221 X3判别法可知，级数 艺丄 也收敛.n3n=1例 2 证明调和级数 艺1 发散.nn=1解：将原级数艺1换成积分形式卜1dx ,由于严打天=lnx|+8 = +8 - 0 = +8 ，即n1 x1 x1n=1J+s-dx发散,根
9、据积分判别法可知，调和级数艺1发散.1 xnn=126 拉贝判别法定理(拉贝判别法)：有正项级数艺U (U 0)，存在常数q .nnn=11)若3N g N+, Vn N，有n(1 -仏) q 1,则级数艺u收敛;Unnn =12)若3N g N+, Vn N，有n(1 -匕4 0)，且极限存在，若nnn=1ulim n(n+1 -1) = l.nsu1) 当l 1时，级数艺u发散.nn =1活用拉贝判别法例1讨论级数n=11 - 3 (2n -1)2 - 4(2n)s当 s = 1,2,3 时的敛散性.解： 当 s = 1 时，由于 n(1 - n+1) = n(1 一 2 +1) =T 1
10、(n),u2n + 2 2n + 2 2n所以根据拉贝判别法知，原级数是发散的.当 s = 2 时，由于 n(1 n i1) = n 1 ( un所以原级数是发散的.当 s=3 时，由于 n(1 - #+1) = n 1 - u_n所以原级数收敛.27 其它判别法一)阿贝尔判若数列收敛。二)狄利克雷判2n +129，且数列单调递减，(2n + 2)3=n(4n + 3) 1(n * ,(2n + 2)2n(12n2 + 18n + 7)3t (n th) 2收敛，则级数若数列，又级数 的部分和数列有界，则级数收敛。三)伯尔特昂(Bertrand)判别法设 是正项级数，且，若是正项级数，是使发整数N,正数则级则散。Z时,级数发散。,当时，（2）当 BN，2） 对所有 nN,库默尔判别限形无限）1）当 时，级注：使用库默尔判别法时，应注意选择恰当的出比式判别法；当 时，可以推导出拉贝判别法；当 出伯尔特昂（Bert
